L’annuité à terme échu est égale à $(1 – (1 + i)^{-n})/i$, où $i$ est le taux de période et $n$ le nombre de périodes. Les calculs avec des annuités à terme échu s’effectuent en mode End.
L’annuité d’avance est égale à l’annuité à terme échu, multipliée par $(1 + i)$, où $i$ est le taux de période. Les calculs avec des annuités à terme échu s’effectuent en mode Begin.
L’annuité d’avance en progression géométrique est égale à l’annuité d’avance calculée au taux $(1+i) / (1+r)-1$ où $i$ est le taux de période et $(1+r)$ la raison de la progression géométrique.
L’annuité à terme échu en progression géométrique est égale, divisée par (1 + r), à l’annuité à terme échu calculée au taux $(1+i) / (1+r)-1$ où $i$ est le taux de période et $(1 + r)$ la raison de la progression géométrique.
L’annuité à terme échu en progression arithmétique, dont le premier terme est un et la raison un, peut se calculer de deux manières :
- c’est l’opposée de la dérivée, appréciée au taux $i$ et divisée par $(1+i)$, de la fonction qui à $x$ associe l’annuité à terme échu constante au taux $x$, où $i$ est le taux de période; pour mener les calculs, on approche la dérivée en calculant la fonction en $i$ et en $i$ augmenté de $\epsilon{}$ très petit et en rapportant la différence des deux résultats à $\epsilon$ ;
- c’est, divisée par $i$, la valeur de l’annuité d’avance constante au taux $i$, avec un versement final négatif de $-n$, où $i$ est le taux de période et $n$ le nombre de périodes.
Les résultats sur les annuités s’obtiennent en se souvenant seulement de l’annuité à terme échu et par un raisonnement comme celui qui suit ; par exemple, pour apprécier la valeur de : \begin{equation*} S = 1 \cdot (1 + i)^{-1} + 2 \cdot (1+ i)^{-2}+3 \cdot (1+ i)^{-3}+ \cdots+ (n-1) \cdot (1 + i)^{-n+1}+ n \cdot (1 + i)^{-n} \end{equation*}
On multiplie $S$ par $(1+i)$ et on lui déduit $S$. Sauf le premier terme de $(1+i)\cdot S$ et le dernier de $S$, les termes d’un degré déterminé se retrouvent une fois par différence entre $(1+i)\cdot S$ et $S$.
On a donc:
\begin{equation*} i \cdot S = 1+(1 + i)^{-1} + (1+ i)^{-2}+(1+ i)^{-3}+ \cdots+ (1 + i)^{-n+1}- n \cdot (1 + i)^{-n} \end{equation*}