Considérons deux actifs, un non risqué, $NR$, l’autre risqué, $R$.
Nous pouvons considérer que si l’actif non risqué vaut 1 aujourd’hui, il vaudra 1 demain, à un changement d’échelle des grandeurs près demain.
Quant à l’actif risqué, nous supposerons que sa valeur est 100 aujourd’hui et que demain il peut avoir deux valeurs 120 ou 90, ce que nous représentons par le schéma suivant :
Soit le poids $p$ qui en l’affectant à 120, première possibilité demain, et en affectant son complément à 1 à 90, deuxième possibilité demain, permet d’obtenir 100 aujourd’hui.
$100=p \cdot 120 + (1-p) \cdot 90$ et donc $p=1/3$.
Le poids $p$ est appelée “ probabilité risque-neutre ” que l’actif risqué vaille 120 demain. Ce genre de probabilité joue un rôle essentielle dans la finance stochastique.
Nous observons que, connaissant les prix possibles demain, à chaque prix aujourd’hui correspond une probabilité risque-neutre différente et réciproquement pour tout poids compris entre 0 et 1, correspond un prix aujourd’hui.
Intéressons nous maintenant à un actif particulier qui consiste à avoir le droit demain d’acheter l’actif risqué à 100. C’est une option d’achat qui vaudra 20 si l’actif risqué est à 120 demain et qui vaudra 0 s’il est à 90. Nous allons chercher son prix aujourd’hui.
Pour cela, nous allons essayer de répliquer le comportement de l’option par une combinaison linéaire de l’actif risqué et de l’actif non risqué.
Soit $\alpha \cdot R + \beta \cdot NR$ une telle pondération, regardons sa valeur dans chacune des hypothèses demain.
Hypothèse haute : $\alpha \cdot 120 + \beta=20$
Hypothèse basse : $\alpha \cdot 90 + \beta=0$
Par différence, nous obtenons $\alpha=2/3$, puis $\beta=-60$ et nous pouvons évaluer alors l’option aujourd’hui à $\alpha \cdot 100 + \beta$, soit à 20/3.
La combinaison linéaire $2/3 \cdot NR – 60 \cdot R$ est appelée “ portefeuille répliquant ” de l’option.
Supposons toujours que la valeur de l’actif risqué est de 100 aujourd’hui et que demain il peut avoir deux valeurs 120 ou 90, et qu’après demain, sa valeur puisse être 145 ou 105, s’il vaut 120 demain, et qu’elle puisse être 110 ou 80, s’il vaut 90 demain, ce que traduit le schéma suivant :
Qu’elle est la valeur aujourd’hui de l’option qui permet d’acheter l’actif risqué à 100 après-demain ?
Nous allons établir rétrospectivement cette valeur en calculant la valeur de l’option dans chacun des cas possibles demain.
Hypothèse haute demain
Nous avons à trouver le portefeuille répliquant correspondant au nœud suivant :
Le portefeuille solution consiste en $R-100$ et l’option vaut 20.
Hypothèse basse demain
Le nœud à résoudre est le suivant :
Le portefeuille solution consiste en $1/3 \cdot R-80/3$ et l’option vaut 10/3.
Nous avons donc la valeur de l’option dans les deux hypothèses demain et nous cherchons le portefeuille répliquant qui permet d’obtenir ces valeurs.
Le portefeuille répliquant à la date d’aujourd’hui consiste en $5/9 \cdot R-140/3$ et l’option vaut 80/9.
Regardons ce que devient ce portefeuille suivant ce qui se passe demain.
Si l’actif risqué vaut 120 demain, l’achat de $4/9 \cdot R$ pour un prix de 160/3 permet de passer du portefeuille répliquant aujourd’hui à celui nécessaire sur le nœud considéré.
Si l’actif risqué vaut 90 demain, la vente de $2/9 \cdot R$ pour 20 permet de passer du portefeuille répliquant aujourd’hui à celui nécessaire sur le nœud considéré.
Le portefeuille répliquant initial s’ajuste selon les circonstances sans coût supplémentaire, il “ s’autofinance ” .
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