La directive Solvabilité II demande aux assureurs d’établir un bilan dit prudentiel pour arrêter les fonds propres dont ils disposent et de calculer le montant de capital que leur activité requiert.
Les règles pour établir le bilan prudentiel sont définies dans la directive, son règlement délégué et également dans des spécifications mises à jour régulièrement par l’autorité européenne des assurances, connue sous son acronyme anglais, EIOPA.
En particulier, EIOPA publie des tables de zéro-coupons pour procéder à ces calculs.
Pour les besoins de l’arrêté du bilan prudentiel à une fin de mois donné, le public dispose pour chaque devise, d’une table de zéro-coupons, avec un pas d’une année sur plus de 100 ans.
Par exemple, le début de la table de ces zéro-coupons se présente ainsi pour les flux en euros au 31 décembre 2024 :
| Central | |
| 1 | $\num{2.236}$ % |
| 2 | $\num{2.093}$ % |
| 3 | $\num{2.093}$ % |
| 4 | $\num{2.120}$ % |
| 5 | $\num{2.142}$ % |
| 6 | $\num{2.170}$ % |
| 7 | $\num{2.198}$ % |
| 8 | $\num{2.222}$ % |
| 9 | $\num{2.243}$ % |
| 10 | $\num{2.267}$ % |
Par la suite nous conviendrons que l’unité de calcul représente 1 €, i.e. les valeurs expriment des montants en euros.
Une tombée certaine de $\num{100}$ dans cinq ans est ainsi évaluée à $\num{100} \cdot (1+\num{2.142} \%)^{-5}$, soit à $\num{89.95}$, et elle serait évaluée à $\num{100} \cdot (1+\num{2.170} \%)^{-6}$, soit à $\num{87.91}$, si elle intervenait un an plus tard.
Pour la même tombée à échéance entre 5 et 6 ans, si nous utilisons uniquement le taux à 5 ans, nous observerions une discontinuité juste avant 6 ans ; en effet en appliquant cette règle pour une durée de $6^-$, nous obtiendrions $\num{100} \cdot (1+\num{2.142} \%)^{-6^-}$, soit $\num{88.06}$.
Pour les échéances entre 5 et 6 ans, nous allons donc réaliser une interpolation entre les TRA à 5 et 6 ans et, pour les besoins de ce cours, nous retiendrons l’interpolation linéaire pour laquelle une fonction dédiée existe sur la calculatrice.
En pratique, pour une échéance dans 5 ans et 3 mois, nous obtiendrons un TRA de $ 3/4 \cdot \num{2.142} \% + 1/4 \cdot \num{2.170}$ %, soit $\num{2.149}$ %, ce qui donne un prix de $\num{89.44}$.
Avec la calculatrice, on procède ainsi :
\begin{align*} 5 &\rightarrow INPUT\\ \num{2.142} &\rightarrow \Sigma+\\ 6 &\rightarrow INPUT\\ \num{2.170} &\rightarrow \Sigma+\\ \num{5.25} &\rightarrow \hat{y},m \rightarrow \num{2.149} \rightarrow I/YR\\ \num{1} &\rightarrow P/YR\\ \num{5.25} &\rightarrow N\\ \num{100} &\rightarrow -PV\\ 0 &\rightarrow PMT\\ \num{89.44} &\leftarrow FV \end{align*}