$\Phi$ vaut $\num{100}$ à $\num{4.5}$ % et $\num{90}$ à $\num{4.2}$ %.
Qu’est $\Phi$ ?
$\Phi$ se comporte comme l’inverse d’un prix.
Supposons que l’objet sous-jacent soit constitué d’une seule tombée intervenant dans $n$ années la valeur d’une tombée alors vaut $100 \cdot (1+i)^{-n}$.
Nous avons $\num{1.045}^{-n}/\num{1.042}^{-n}=90/100$, d’où $n=-\ln(\num{0.900})/(\ln(\num{1.045})-\ln(\num{1.042}))$, soit $n=\num{36.7}$.
Notre objet a une duration assez longue.
La valeur ramenée au taux $i$ d’une annuité infinie est $1/i$.
Le sous-jacent ne peut être une annuité infinie, ce qui donnerait comme rapport des valeurs $\num{4.20}/\num{4.50}$, soit $\num{0.964}$ et non pas $\num{0.900}$ pour les taux considérés.
En introduisant un différé $n$ avant le service de l’annuité infinie, on obtient un rapport des valeurs ramenées égal à $\num{4.20}/\num{4.50} \cdot \num{1.045}^{-n}/\num{1.042}^{-n}$.
Ainsi, le rapport des valeurs ramenées est égal à $(\num{1.045} \cdot \exp(\num{0.010})-1)/(\num{1.042} \cdot \exp(\num{0.010})-1) \cdot \num{1.045}^{-n}/\num{1.042}^{-n}$, ce qui donne comme différé $n$=17.1 années.
Avec ces seules caractéristiques, “ $\Phi$ vaut $\num{100}$ à $\num{4.5}$ % et $\num{90}$ à $\num{4.2}$ % ”, nous avons trouver que $\Phi$ se comporte comme un régime de retraite différée.
Et c’est en s’appuyant sur ces deux métriques, qu’un grand actuaire, Alain Tosetti (1944-2003), a démontré qu’un régime de retraite était en difficulté puisqu’il avait juste assez d’argent en escomptant à $\num{4.5}$ % et qu’il en manquait $\num{10}$ % à $\num{4.2}$ %, ce qui était à l’époque un taux d’escompte élevé.
Finalement, à partir de ces deux métriques, nous avons pu appréhender la géométrie de l’objet sous-jacent.