1) On suppose que l’état d’insolvabilité d’un emprunteur survient avec une probabilité instantanée constante dans le temps, notée $\mu$. Démonter qu’il existe, pour tous les prêts de taux $i$, un taux $j$ qui ne dépend que de $i$ et de $\mu$ tel que pour chaque prêt, à toute époque, la valeur probable des remboursements à échoir au taux $j$ soit égale au capital restant dû. Établir la relation entre $i$, $j$ et $\mu$.
2) Pour des prêts de quinze ans, remboursables par mensualités constantes à terme échu, la proportion $p_0$ cumulée attendue d’emprunteurs qui deviendront défaillants est de $\num{5.00} \%$. On suppose que l’état d’insolvabilité d’un emprunteur survient avec une probabilité instantanée constante dans le temps, notée $\mu_0$. Déterminer $\mu_0$. Sachant que le banquier attend un rendement $j_0$ de $\num{7.00} \%$ sur ces prêts, quelle mensualité doit-il demander pour un capital $K$ de $\num{200000} \text{€}$ ? Quel complément de capital aurait-il prêté si le risque de défaillance était nul ?
3) Le banquier utilise un TEG $t$ de $\num{7.65} \%$ pour ses prêts de quinze ans, remboursables par mensualités constantes à terme échu.
a) Quelle est la valeur actuelle probable des mensualités d’un tel prêt de capital $K$ égal à $\num{200000} \text{€}$, au taux $j_0$ de $\num{7.00} \%$, en supposant que l’état d’insolvabilité d’un emprunteur survient selon les hypothèses de la question 2) ?
b) Pour un tel prêt, avec le TEG $t$ de $\num{7.65} \%$, à quelle proportion mensuelle $p_1$ constante de passage à l’état d’insolvabilité le banquier peut-il faire face sous la contrainte d’une rentabilité $j_0$ de $\num{7.00} \%$ ?
4) Un prêt de K égal à $\num{200000} \text{€}$ présente les caractéristiques du 3). On se place un an après la date d’effet du prêt, l’emprunteur n’étant pas défaillant.
a) Quelle est la valeur capitalisée au taux $j_0$ de $\num{7.00} \%$ des flux intervenus entre le banquier et l’emprunteur ?
b) Quel est le capital restant dû par l’emprunteur ?
Le prêt comporte une clause de remboursement anticipé sans pénalité. Quel résultat, pour l’année écoulée, vous semble-t-il raisonnable d’enregistrer si la clause de remboursement anticipé est exercée ?
c) Quelle est la valeur actuelle probable des mensualités à échoir, au taux $j_0$ de $\num{7.00} \%$, en supposant que l’état d’insolvabilité d’un emprunteur survient selon les hypothèses du 3) b ?
Quel résultat, pour l’année écoulée, vous semble-t-il raisonnable d’enregistrer ?
d) Quelle est la valeur actuelle probable des mensualités à échoir, au taux $j_0$ de $\num{7.00} \%$, en supposant que l’état d’insolvabilité d’un emprunteur survient selon les hypothèses de la question 2) ?
Quel résultat, pour l’année écoulée, vous semble-t-il raisonnable d’enregistrer ?
e) Le banquier estime que, dorénavant, le risque $p_1$ cumulé que l’emprunteur soit défaillant avant la fin du prêt est de $\num{10.00} \%$. Quelle est la valeur actuelle probable des mensualités à échoir, au taux $j_0$ de $\num{7.00} \%$, en supposant que l’état d’insolvabilité d’un emprunteur survient avec une probabilité instantanée constante dans le temps ?
Quel résultat, pour l’année écoulée, vous semble-t-il raisonnable d’enregistrer ?
1) Lorsque un événement “ rare ” intervient sur une population avec une intensité uniforme $\mu$, la proportion indemne après une durée $t$ écoulée est $\exp(-\mu t)$ en moyenne.
En effet, avec cette loi, pour une période de durée $\Delta$, la proportion de la population affectée en moyenne sera de $1-\exp(-\mu \Delta)$ qui, pour $\Delta$ infinitésimal, est équivalent à $\mu \Delta$, ce qui, rapporté à la durée considérée, donne $\mu$.
Considérons à une date $t_0$ le capital restant dû d’un emprunt, noté $R_{t_0}$. Ce capital est égal à l’escompte des remboursements à échoir au taux $i$ de tarification des intérêts de l’empruntthinsp;:
$R_{t_0}=\sum_{k=1}^n \frac{A_{K}}{{{(1+i)}}^{t_{K}}}$, où $A_{K}$ désigne le $k$\ieme{} remboursement parmi $n$ intervenant en $t_k$.
Si nous ramenons maintenant les tombées que la banque peut espérer, il convient de pondérer chacun des remboursements par sa probabilité d’être servi, sachant que l’emprunteur n’est pas défaillant en $t_0$, qui, pour le remboursement intervenant en $t_k$, est égale à $\exp(-\mu (t_k-t_0))$.
Pour obtenir à nouveau le capital restant dû, il convient d’utiliser comme facteur d’escompte sur les remboursements ainsi pondérés, le produit du facteur d’escompte $1/(1+i)$ par $\exp(-\mu)$. Ce nouveau facteur d’escompte s’exprime par $1/(1+j)$ où $j$ est le taux utilisé. On a donc, $(1+j) = (1+i)\exp(\mu)$.
2) $\exp(-15 \mu_0)=\num{0.950}$, d’où $\mu_0=-\ln(\num{0.950})/15$, soit $\num{0.342} \%$.
Attendre un rendement de $\num{7.00} \%$ sur ses prêts pour le banquier, signifie que les tombées qu’il attend, ramenées à ce taux, lui donne le capital prêté. Avec la relation établie plus haut, le tarif des prêts est égal à $1,\num{070} \cdot \exp(\num{0.00342})-1=\num{7.37} \%$ annuel. Ce taux a pour équivalent mensuel $\num{0.594} \%$ dont le taux proportionnel annuel est $\num{7.13} \%$.
En renseignant $\num{7.13}$ au registre $I/YR$, en posant 12 dans $P/YR$, le moteur financier donne une mensualité à terme échu de $\num{1812.10} \text{€}$ pour $\num{200000} \text{€}$ de capital remboursé sur 15 ans, soit en 180 termes.
Ces mensualités ramenées à $\num{7.00} \%$ annuel, soit en mensuel à $\num{0.565} \%$, proportionnel à $\num{6.78} \%$ annuel, taux qui appelle $\num{6.78}$ au registre $I/YR$ avec 12 dans $P/YR$, donneraient $\num{204330.19} \text{€}$ si le risque de défaillance était nul, soit un surplus de capital de $\num{4330.19} \text{€}$.
3)
a) Ici donc, le taux équilibre mensuel est $(1+\num{7.65} \%)^{1/12}-1=\num{0.616} \%$, ce qui conduit à affecter $\num{7.39}$ au registre $I/YR$ de la calculatrice financière, si l’on pose 12 dans $P/YR$, ce qui donne des mensualités de $\num{1842.02} \text{€}$.
Leur valeur ramenée à $\num{7.00} \%$, en supposant que l’état d’insolvabilité d’un emprunteur survient avec une probabilité instantanée de $\num{0.342} \%$, est égale à leur valeur ramenée au taux annuel de $\num{1.070} \cdot \exp(-\num{0.342})-1$, soit $\num{7.37} \%$.
Ce taux annuel est équivalent à $\num{0.594} \%$ mensuel, qui est lui même proportionnel à $\num{7.13} \%$ annuel, taux qu’il faut servir au registre $I/YR$ de la calculatrice financière, toujours avec 12 dans $P/YR$.
On obtient alors, la valeur ramenée demandée, $\num{203302.04} \text{€}$, soit un surplus de $\num{3302.04} \text{€}$ par rapport à la somme prêtée.
Si la banque estime que les charges auxquelles elle est exposée se facturent à $\num{7.00} \%$ effectif des encours, ce surplus s’enregistre comme le résultat du prêt. Cet enregistrement peut être concomitant à la délivrance du prêt ou étalé sur son déroulé, ce qui est préférable en termes de prudence.
b) En adaptant la relation établie en 1), nous obtenons $\num{1.0700}^{1/12}/(1-p_1) = \num{1.0765}^{1/12}$, soit $p_1=\num{0.0509} \%$.
4)
a) Le taux nominal correspondant à $\num{7.00} \%$ effectif est $\num{6.78} \%$ en annuel sur base mensuel. Avec le moteur financier :
\begin{align*} \num{12} &\rightarrow N\\ -\num{200000} &\rightarrow PV\\ \num{1842.02} &\rightarrow PMT\\ \num{6.78} &\rightarrow I/YR\\ \text{END} &\rightarrow Beg/End\\ \num{12} &\rightarrow P/YR\\ \num{191195.25} &\leftarrow FV \end{align*}La valeur demandée est $\num{191195.25} \text{€}$.
b) Après paiement de la 12e mensualité, il reste à payer $15\cdot 12-12$ mensualités à l’emprunteur non défaillant dont la valeur ramenée à $\num{7.65} \%$ est $\num{192431.05} \text{€}$.
c) Par construction escompter à $\num{7.00} \%$ avec un taux de défaillance qui donne un tarif de $\num{7.65} \%$ revient à escompter à ce dernier taux. Ainsi à tout instant la valeur actuelle probable des mensualités à échoir au taux de $\num{7.00} \%$ est le capital restant dû du prêt et le résultat attendu est zéro.
d) Pour avoir un rendement de $\num{7.00} \%$ avec un risque de défaillance cumulé de $\num{10.00} \%$ sur les 14 ans qui reste à courir, il faut escompter à $\num{7.81} \%$. Les mensualités à échoir valent à ce taux $\num{190784.84} \text{€}$ et la banque doit enregistrer une perte potentielle pour toute l’aggravation de $\num{1646.21} \text{€}$