On considère à une date donnée, $t_0$, une obligation de coupon annuel $C$ et qui rembourse $R$ en $n-\alpha$, après $n$ coupons et où $\alpha$ est la durée écoulée depuis le dernier coupon.
En $t_0$, le prix en pied de coupon de l’obligation est noté $P$, son coupon couru est $\alpha C$ et son TRA est noté $i$.
$$ P+\alpha C= \sum_{k=1}^{n} C (1+i)^{-(k-\alpha)} + R (1+i)^{-(n-\alpha)} $$Par une vue de l’esprit, on peut décomposer le prix de l’obligation en la somme du prix de ses composants, chacune des tombées étant ramenées au taux $i$.
Ainsi le $k^e$ coupon aurait pour valeur $C\times (1+i)^{-(k-\alpha)}$ et le remboursement $R\times (1+i)^{-(n-\alpha)}$.
La somme des durées de chaque tombée de l’obligation, pondérée par le prix des tombées ramenées au taux de rendement actuariel de l’obligation, le tout divisé par le prix de l’obligation, s’appelle la duration de l’obligation.
En notant $D$ la duration, on obtient :
$$ D=\frac{\sum_{k=1}^{n} (k-\alpha) \times C(1+i)^{-(k-\alpha)} + (n-\alpha) \times (1+i)^{-(n-\alpha)}}{P+\alpha C} $$Deux méthodes peuvent être mises en oeuvre pour calculer la duration si votre moteur financier ne vous en propose pas le résultat direct.
La première consiste à remarquer que la fonction qui au TRA associe le prix plein a pour dérivée logarithme l’opposée de la duration divisée par $1+i$, cette quantité s’appelle la duration modifiée. On rappelle que la dérivée logarithme d’une fonction est la dérivée de la fonction divisée par la fonction.
En pratique avec le moteur financier, pour un prix donné on détermine le TRA et on augment celui-ci d’une quantité $\varepsilon$, $10^{-8}$ par exemple, et on divise la différence entre l’ancien prix et le nouveau par le différentiel de taux pour obtenir une très très bonne approximation de la duration modifiée.
La deuxième consiste à évaluer la quantité $X= \sum_{k=1}^{n} (k-\alpha) \times (1+i)^{-(k-\alpha)}$ en reprenant la méthode d’évaluation de l’annuité en progression arithmétique. On observe que $(1+i)X=\sum_{k=1}^{n} (k-\alpha) \times (1+i)^{-(k-\alpha-1)}$ et on obtient donc par différence :
$$\begin{align*} iX &=-\alpha (1+i)^\alpha + \sum_{k=0}^{n-1} (1+i)^{-(k-\alpha)} -(n-\alpha) \times (1+i)^{-(n-\alpha)} \\&=(1+i)^\alpha \times (-\alpha +\sum_{k=0}^{n-1} (1+i)^{-k} -(n-\alpha) (1+i)^{-n}) \end{align*}$$On reconnait à droite une annuité d’avance de terme 1 avec un paiement final de $-(n-\alpha)$, cette annuité étant corrigée de $\alpha$
Application numérique : Soit une obligation de coupon $\num{2.50} \%$ et d’échéance le 15 octobre 2037. Son cours en pied de coupon le 28 février 2025 est de $\num{98.54}$. Calculer sa duration.
On calcule le TRA de l’obligation et on le met dans les registres $I/YR$ et $STO\,0$ :
$$\begin{align*} \num{98.54} &\rightarrow PRICE\\ -\num{2.50} &\rightarrow CPN\%\\ -\num{15.102037} &\rightarrow MatDate\\ \num{28.022025} &\rightarrow SetDate\\ \num{100} &\rightarrow CALL\\ YTM &\rightarrow \num{2.6367}\dots \rightarrow I/YR \rightarrow STO\,0 \end{align*}$$On récupère le coupon couru que l’on place dans $STO\,1$ et l’on détermine $\alpha$, la fraction d’année écoulée depuis le dernier coupon que l’on place dans le registre $STO\,2$ ; on place le prix plein de l’obligation dans le registre $STO\,1$.
$$\begin{align*} AccInt &\rightarrow \num{0.9315}\dots \rightarrow STO\,1\\ RCL\,1/ \num{2.50} &=\num{0.3726}\dots \rightarrow STO\,2\\ \num{98.54} + RCL\,1 &=\num{99.4715}\dots \rightarrow STO\,1 \end{align*}$$Pour apprécier par la suite la duration des coupons, on calcule le prix ramené au TRA du seul remboursement et des coupons que l’on place dans les registres $STO\,3$ et $STO\,4$.
$$\begin{align*} 0 &\rightarrow CPN\%\\ PRICE &\rightarrow \num{71.9905}\dots \rightarrow STO\,3\\ RCL\,1 – RCL\,3 &=\num{27.4810}\dots \rightarrow STO\,4 \end{align*}$$Pour la méthode de la dérivée, on modifie le TRA de $\varepsilon$, $10^{-8}$, on augmente donc $YTM$ de $10^{-6}$, les registres de taux d’intérêt s’exprimant en pourcent. On obtient un prix en pied de coupon de l’obligation à ce taux. On regarde l’écart au prix en pied de coupon initial, on divise par $\varepsilon$, puis par le prix plein de l’obligation. On a alors la duration modifiée, $\num{10.59}$ et enfin, la duration $\num{10.87}$.
$$\begin{align*} \num{2.50} &\rightarrow CPN\%\\ RCL\,0 + 10^{-6} &\rightarrow YTM\\ PRICE &\rightarrow \num{98.53998947}\dots \rightarrow STO\,5\\ \num{98.54} – RCL\,5 &\rightarrow \num{1053.41}\dots \rightarrow STO\,5\\ RCL\,5 / 10^{-8} &\rightarrow \num{0.0000105341}\dots \rightarrow STO\,5\\ RCL\,5 / RCL\,1 &\rightarrow \num{10.590}\dots \rightarrow STO\,5\\ RCL\,5 \times (1+RCL\,0/100) &\rightarrow \num{10.869}\dots \rightarrow STO\,5 \end{align*}$$Pour la méthode directe, on commence par calculer au TRA de l’obligation une annuité unitaire d’avance de durée $n$, 13, et de flux final $-(n-\alpha), -(13-RCL\,2)$.
$$\begin{align*} 13-RCL\,2 &\rightarrow STO\,6\\ \num{13} &\rightarrow N\\ 1 &\rightarrow PMT\\ -RCL\,6 &\rightarrow FV\\ \text{BEGIN} &\rightarrow Beg/End\\ \num{1} &\rightarrow P/YR\\ -PV &\rightarrow \num{2.1706}\dots \rightarrow STO\,7 \end{align*}$$On fait la différence entre ce résultat et $\alpha$ et cette différence est projetée au TRA de l’obligation sur une durée $\alpha$, puis en divisant par le TRA on obtient $\sum_{k=1}^{n} (k-\alpha) \cdot (1+i)^{-(k-\alpha)}$.
$$\begin{align*} RCL\,7 – RCL\,2 &\rightarrow \num{1.7980}\dots \rightarrow STO\,7\\ 0 & \rightarrow PMT\\ RCL\,2 & \rightarrow N\\ RCL\,7 &\rightarrow -PV\\ FV &\rightarrow \num{1.8155}\dots \rightarrow STO\,7\\ RCL\,7 / RCL\,0 \cdot 100 &\rightarrow \num{68.8535}\dots \rightarrow STO\,7 \end{align*}$$On obtient la duration au TRA des coupons, $\num{6.26}$, en multipliant ce résultat par le montant du coupon et en divisant ceci par le prix des coupons au TRA. La duration de l’obligation au TRA est la pondération de la duration des coupons par leur prix et de la duration du remboursement, $n-\alpha$, par son prix.
$$\begin{align*} C \times RCL\,7 + RCL\,3 \times RCL\,6 &\rightarrow \num{1081.2}\dots \rightarrow STO\,7\\ RCL\,7 / RCL\,1 \cdot 100 &\rightarrow \num{10.8693}\dots \rightarrow STO\,7 \end{align*}$$La méthode de la dérivée présente un écart relatif est de $\num{-6.49e-08}$ par rapport au résultat exact que l’on vient de calculer en utilisant le tableur.