Les taux le long d’une obligation

Analyse du prix d’une obligation par ses composantes

Dans cette partie du cours, le seul prix de l’obligation que nous aurons à traiter est son prix plein de coupon; il sera donc nécessaire de reconstituer ce dernier en additionnant le coupon couru au cours en pied de coupon .

Ensuite, nous ferons des divisions et des soustractions et, à titre accessoire, nous serons amenés à établir des taux annuels équivalents.

Chacune de ses opérations est simple, le tout est de mener les calculs de façon ordonnée.

Soit trois obligations de même émetteur ayant les échéances, coupons et cours en pied de coupon au 1^er septembre 2025 suivants :

Nom	Échéance	Coupon	Cours
A	15.04.2026	$\num{3.00}$	$\num{100.60}$
B	15.04.2027	$\num{2.50}$	$\num{99.61}$
C	15.04.2028	$\num{2.00}$	$\num{97.53}$

Au préalable, calculons les coupons courus des trois obligations au 1^er septembre 2025. 139 jours se sont écoulés depuis le dernier coupon et 365 jours séparent le dernier coupon du prochain coupon. Les coupons courus sont alors respectivement de $\num{1.142}$, $\num{0.952}$ et $\num{0.762}$ et les prix plein de coupon $\num{101.742}$, $\num{100.562}$ et $\num{98.292}$.

Nous avons donc les diagrammes de flux suivants :

Au 1^er septembre 2025, l’obligation $A$ se comporte comme un zéro-coupon qui aurait comme prix $\num{101.742}$ et serait remboursé à $\num{103.000}$ le 15 avril 2026. Le prix du zéro-coupon équivalent de nominal 1 serait $\num{101.742}/\num{103.000}$, soit $\num{0.987786}\ldots$, que nous noterons $f_{1}$.

Pour obtenir ce prix, nous avons réalisé une homothétie de l’obligation $A$ pour en normaliser le terme à 1.

Le ratio $f_{1}$ appliqué à une tombée le 15 avril 2026 du même émetteur donne la valeur de cette tombée au 1^er septembre 2025.

Ainsi, nous pouvons estimer à $\num{2.500} \cdot f_{1}$, soit à $\num{2.469}$, la valeur au 1^ier septembre 2025 du coupon de $\num{2.500}$ qui tombera le 15 avril 2026 pour l’obligation $B$. Nous en déduisons que la tombée de $\num{102.500}$ le 15 avril 2027 a comme valeur au 1^er septembre 2025, $\num{101.562} – \num{2.469}$, la valeur de l’obligation $B$ diminuée de la valeur de la tombée intermédiaire, soit $\num{98.093}$.

Au 1^er septembre 2025, l’obligation $B$ amputée de son coupon qui tombera le 15 avril 2026, se comporte comme un zéro-coupon qui aurait comme prix $\num{98.093}$ et serait remboursé à $\num{102.500}$ le 15 avril 2027. Le prix du zéro-coupon équivalent de nominal 1 serait $\num{98.093}/\num{102.500}$, soit $\num{0.957000}\ldots$, que nous noterons $f_{2}$.

Pour obtenir ce prix, nous avons réalisé une combinaison linéaire des obligations $A$ et $B$, d’une part pour éliminer le coupon intermédiaire de $B$, d’autre part pour en normaliser le terme à 1.

Le ratio $f_{2}$ appliqué à une tombée le 15 avril 2025 du même émetteur donne la valeur de cette tombée au 1^ier septembre 2025.

Ainsi pour l’obligation $C$, nous pouvons estimer à $\num{2.000} \cdot f_{1}$, soit à $\num{1.976}$, la valeur au 1^er septembre 2025 du coupon de $\num{2.000}$ qui tombera le 15 avril 2026 et à $\num{2.000} \cdot f_{2}$, soit à $\num{1.914}$, la valeur au 1^ier septembre 2025 du coupon de $\num{2.000}$ qui tombera le 15 avril 2027. Nous en déduisons que la tombée de $\num{102.000}$ le 15 avril 2028 a comme valeur au 1^er septembre 2025, $\num{98.093} – \num{1.976} – \num{1.914}$, la valeur de l’obligation $C$ diminuée de la valeur des tombées intermédiaires, soit $\num{94.402}$.

Au 1^er septembre 2025, l’obligation $C$ amputée de ses coupons qui tomberont les 15 avril 2026 et 2027, se comporte comme un zéro-coupon qui aurait comme prix $\num{94.402}$ et serait remboursé à $\num{102.000}$ le 15 avril 2028. Le prix du zéro-coupon équivalent de nominal 1 serait $\num{94.402}/\num{102.500}$, soit $\num{0.925514}\ldots$, que nous noterons $f_{3}$.

Pour obtenir ce prix, nous avons réalisé une combinaison linéaire des obligations $A$, $B$ et $C$, d’une part pour éliminer les coupons intermédiaires de $C$, d’autre part pour en normaliser le terme à 1.

Le ratio $f_{3}$ appliqué à une tombée le 15 avril 2028 du même émetteur donne la valeur de cette tombée au 1^er septembre 2025.

Construction de la courbe des zéros-coupons

Le 1^er septembre 2025, les obligations $A$, $B$ et $C$ ont respectivement pour TRA $\num{2.00}$ %, $\num{2.74}$ % et $\num{2.99}$ %.

De même, à partir de $f_1$, $f_2$ et $f_3$, nous obtenons la valeur des TRA au 1^er septembre 2025 des zéros-coupons à 7 mois et demi, à 1 an et 7 mois et demi et à 2 ans et 7 mois et demi, $\num{2.00}$ %, $\num{2.75}$ % et $\num{3.00}$ %, ces valeurs étant propres à l’émetteur considéré.

Nous remarquons que le TRA global de l’obligation $C$ est distinct de ceux de ses trois tombées.

Pour l’émetteur considéré, nous pouvons établir une courbe des taux des zéro-coupons, à la date considérée :

Taux forward implicites

La courbe des taux zéro-coupons est celles des taux spot, c’est à dire des taux immédiats.

Nous en déduisons des taux à venir, dits forward.

Par exemple, considérons les deux zéros-coupons, $D$ et $E$, à 7 mois et demi et à 1 an et 7 mois et demi qui cotent respectivement $\num{0.987786}$ et $\num{0.957000}$.

Par combinaison linéaire de $D$ et de $E$, nous pouvant éliminer les jambes au 1^er septembre 2025 tout en maintenant le terminal à 1 au 15 avril 2026. Cette combinaison linéaire correspond à l’achat d’une obligation $E$ et la vente d’une quantité $\num{0.957000}/\num{0.987786}$, soit $\num{0.968833}$, de $D$.

Remarquons que cette opération n’est possible que si le marché des titres de l’émetteur considéré permet des arbitrages.

Nous obtenons ainsi un nouveau titre, noté $G$ :

Ce titre offre un rendement de $\num{3.22}$ % sur un an à partir du 15.04.2026. Ce taux est dénommé taux forward 1 an dans 7 mois et demi, apprécié au 1^er septembre 2025.

De même en considérant les zéro-coupon $E$ et $F$, ce dernier étant celui qui cote $\num{0.925514}$ le 1^er septembre 2025 pour une tombée unique de 1 le 15 avril 2028, nous pouvons obtenir par combinaison linéaire un titre, $H$, qui vaut $\num{0.957000}/\num{0.987786}$, soit $\num{0.967099}$, le 15 avril 2027 et qui est remboursé 1 le 15 avril 2028.

Ce titre offre un rendement de $\num{3.40}$ % sur un an à partir du 15.04.2026. Ce taux est dénommé taux forward 1 an dans 1 an et 7 mois et demi, apprécié au 1^er septembre 2025.

Quelle est la signification d’offrir un tel rendement ? En fait, nous pouvons décider aujourd’hui de placer demain une certaine somme et nous savons la somme que nous obtiendrons après-demain. Telle est la signification d’un taux forward. D’aucune manière, il ne s’agit d’une anticipation aujourd’hui des taux de demain.

Enfin, nous pouvons à partir de $D$ et de $F$ obtenir un zéro-coupon, $I$, de prix $\num{0.925514}/\num{0.987786}$, soit $\num{0.936958}$, le 15 avril 2026 qui donne 1 le 15 avril 2028.

Ce titre offre un rendement de $\num{6.73}$ % sur deux ans à partir du 15.04.2025, il a donc un TRA de $\num{3.31}$ %. Ce taux est dénommé taux forward 2 ans dans 7 mois et demi, apprécié au 1^er septembre 2025.

Comparaison des taux spot et des taux forward

Reprenons la courbe des taux des zéro-coupons précédente et portons dessus les taux forward que nous avons établis.

Lors de la baisse des taux, certains investisseurs ont voulu profiter de la pentification de la courbe des taux spot pour obtenir de meilleures performances. Des banques leur ont proposé des produits structurés ad hoc, ces produits étant basés sur la vente de la partie courte de la courbe et l’achat simultané de la partie plus éloignée. Les investisseurs auraient obtenu le même résultat en vendant eux même la partie courte et en se plaçant plus long.