Emprunt Socram
Un emprunt de $\num{10000}$ € est remboursable en 48 mensualités constantes de $\num{224.86}$ € à terme échu. L’emprunt est consenti sans frais de dossier.
Calculer le TAEG du prêt en considérant qu’il inclut le coût d’immobilisation d’un “ fonds mutuel de garantie ” ($\num{2}$ % du montant du prêt compris dans les mensualités et remboursables par le prêteur dès la bonne fin du crédit).
$$\begin{align*} \num{48} &\rightarrow N\\ -\num{10000} &\rightarrow PV\\ -\num{200} &\rightarrow FV\\ \num{224.86} &\rightarrow PMT\\ \text{END} &\rightarrow Beg/End\\ \num{12} &\rightarrow P/YR\\ \num{2.91} &\leftarrow I/YR \end{align*}$$
Le taux affiché par le moteur est le taux annuel proportionnel au taux mensuel d’équilibre. Le taux annuel équivalent est obtenu par conversion :
$$\begin{align*} \num{12} &\rightarrow P/YR\\ \num{2.91} &\rightarrow NOM\\ \num{2.94} &\leftarrow EFF \end{align*}$$Le prêt a pour TAEG $\num{2.94}$ %.
.
OAT versus OATi
L’OAT $\num{0.5}$ % d’échéance 25 mai 2025 et l’OATi $\num{0.1}$ % d’échéance 1er mars 2025 indexée sur l’inflation cotent respectivement le 27 janvier 2016 $\num{98.48}$ et $\num{103.24}$.
Quelle hypothèse d’inflation uniforme permet d’égaliser leur TRA ?
La calculatrice financière dispose d’un moteur permettant de, connaissant l’un, déterminer le TRA ou le prix en pied de coupon d’une obligation.
En renseignant les dates dans le format jj.mmaaaa, en retenant l’année civile et avec un coupon annuel, on détermine le TRA de chacune des obligations.
$$\begin{align*} \num{98.48} &\rightarrow PRICE\\ -\num{0.50} &\rightarrow CPN\%\\ -\num{25.052025} &\rightarrow MatDate\\ \num{27.012016} &\rightarrow SetDate\\ \num{100} &\rightarrow CALL\\ \num{0.67} &\leftarrow YTM \end{align*}$$ $$\begin{align*} \num{103.24} &\rightarrow PRICE\\ -\num{1.00} &\rightarrow CPN\%\\ -\num{1.032025} &\rightarrow MatDate\\ \num{27.012016} &\rightarrow SetDate\\ \num{100} &\rightarrow CALL\\ \num{-0.25} &\leftarrow YTM \end{align*}$$En considérant le taux $i$ d’inflation, le flux $F$ de l’OATi qui intervient dans $t$ années vaut $F \cdot (1+i)^t$ exprimé en euro et l’obligation qui livrerait ces sommes indexées fournirait un TRA égal à $(1+j)/(1+i)$, où $j$ désigne le TRA de l’OATi.
Ce résultat serait celui de l’OAT, à très peu près puisque ce titre a pratiquement la même échéance que l’OATi et donc de l’obligation imaginée.
Le taux d’inflation future qui donne le même rendement aux deux obligations est donc $\num{1.0067}/\num{0.9975}-1$, soit $\num{0.92}$ %.
.
Comparaison d’emprunts de même durée
Deux emprunts obligataires ont été émis à la même date par deux organismes comparables en termes de solidité financière. L’émission A a une durée de 7 3/4 ans et délivre un coupon annuel de $\num{6}$ %, l’émission B a la même durée avec un coupon annuel de $\num{5}$ %.
1. L’emprunt A a été émis à $\num{101}$ % de son nominal.
a) quel est le taux de rendement actuariel à l’émission de A ?
b) quel doit-être le prix d’émission de B pour obtenir le même taux de rendement actuariel que A ?
2. En réalité, l’emprunt B a été émis à $\num{95}$ %.
Deux ans et trois mois après ces émissions, le taux de marché pour les obligations de ces émetteurs à même échéance est égal à $\num{5.5}$ %.
a) quel est le prix de marché des obligations A et B à ce moment-là ?
b) quel est, pour chacune des obligations A et B, le taux de rendement obtenu par le souscripteur d’origine qui les revend sur le marché à ce moment-là ?
3. Les émetteurs des emprunts A et B ont la faculté de rembourser par anticipation les obligations immédiatement après paiements des cinquièmes coupons annuels.
Pour les deux émissions, le prix de remboursement en cas d’une telle anticipation a été fixé à l’escompte à $\num{7}$ % annuel des flux qui auraient eu lieu après paiements des cinquièmes coupons annuels en l’absence de remboursement anticipé.
a) quels sont pour chacune des émissions, le prix de remboursement anticipé ?
b) si les émetteurs exercent leur faculté de remboursement après paiements des cinquièmes coupons annuels, quel est, dans chacun des cas, le taux de rendement obtenu par le souscripteur d’origine ?
1 a) On approxime le taux de rendement actuariel avec le moteur à flux fixes :
$$\begin{align*} \num{7.75} &\rightarrow N\\ -\num{101.00} &\rightarrow PV\\ -\num{100} &\rightarrow FV\\ \num{6} &\rightarrow PMT\\ \text{END} &\rightarrow Beg/End\\ \num{1} &\rightarrow P/YR\\ \num{5.48} &\leftarrow I/YR \end{align*}$$1 b) Pour calculer le prix de l’obligation B à ce taux, on établit le prix pour une obligation de même coupon de durée 8 ans et on projette ce prix sur trois mois ; on obtient un prix en pied de coupon de $\num{94.88}$.
2 a) Les prix de marché sont respectivement $\num{102.28}$ et $\num{97.65}$.
2 b) Considérons l’équation d’équilibre où $P_a$ est le prix d’achat, $P_v$, le prix de vente, $C$, le montant du coupon, $\alpha$, la fraction d’année entre la date d’achat et le précédent coupon, $\beta$, la fraction d’année entre la date de vente et le précédent coupon et $n$ le nombre de coupons entre la date d’achat et la date de vente :
$$ P_a+\alpha C= \sum_{k=1}^{n} C (1+i)^{-(k-\alpha)} +( P_v+\beta C) (1+i)^{-(n-\alpha+\beta)} $$ $$ P_a+\alpha C= C ((1+i)^\alpha – (1 + i)^{-(n-\alpha)})/ i+( P_v+\beta C) (1+i)^{-(n-\alpha+\beta)} $$On remarque que $\alpha \approx ((1+i)^\alpha -1)/ i$ et que $\beta \approx ((1+i)^\beta -1)/i$. En subsituant ces valeurs dans l’équation précédente on obtient : $$ P_a \approx C (1 – (1 + i)^{-(n-\alpha+\beta)})/ i + P_v (1+i)^{-(n-\alpha+\beta)} $$
On peut donc utiliser le moteur à flux fixes ou le moteur obligataire en prenant comme prix net, le prix en pied de coupon à l’achat, comme prix de remboursement, le prix en pied de coupon à la vente et comme durée résiduelle, la durée entre l’achat et la vente.
Dans le cas étudié, on obtient alors comme taux de rendement $\num{6.48}$ % et $\num{6.45}$ %.
3 a) Les prix de remboursement sont $\num{97.38}$ et $\num{94.75}$
3 b) En cas de remboursement anticipé, les taux de rendement sont respectivement $\num{5.26}$ % et $\num{5.21}$ %