Un emprunt immobilier comprend deux parties, l’une, pour un montant de $\num{150000} \text{€}$, est amortissable sur vingt ans par mensualités constantes à terme échu au taux de $\num{3.6} \%$, l’autre, pour un montant de $\num{100000} \text{€}$, est amortissable sur quinze ans par trimestrialités constantes à terme échu au taux de $\num{4.2} \%$.
1) Calculer la mensualité et la trimestrialité.
2) Établir le diagramme des flux.
3) Calculer le montant restant dû après paiement de la première trimestrialité.
4) Aux taux effectifs mensuels de $\num{0.30} \%$ et de $\num{0.35} \%$, comparer la valeur d’une trimestrialité à échoir dans un trimestre et celle de trois mensualités successives de montant égal au tiers de la trimestrialité intervenant dans deux, trois et quatre mois.
5) En approximant chaque trimestrialité par trois mensualités successives de montant égal au tiers de la trimestrialité intervenant un mois avant la date de la trimestrialité, à la date de la trimestrialité, un mois après la date de la trimestrialité, établir le diagramme des flux et estimer le taux effectif global de l’emprunt.
6) L’emprunt supporte des frais de dossier de $\num{1000} \text{€}$ et des prélèvements mensuels de $\num{50} \text{€}$ jusqu’à son terme. Estimer le taux effectif global de l’emprunt.
1) Avec le moteur financier, on obtient successivement la mensualité et la trimestrialité :
\begin{align*} \num{20}\cdot 12, \num{15}\cdot 4 &\rightarrow N\\ -\num{150000}, \num{100000} &\rightarrow PV\\ \num{0} &\rightarrow FV\\ \text{END} &\rightarrow Beg/End\\ 12, 4 &\rightarrow P/YR\\ \num{4.2}, \num{3.6} &\rightarrow I/YR\\ \num{877.67}, \num{2254.88} &\leftarrow PMT \end{align*}2) Nous avons la mise à disposition du capital prêté, puis 60 séquences successives de trois mois avec en fin des deux premiers mois, le paiement de la mensualité, et en fin du troisième, le paiement de la mensualité et de la trimestrialité, et, à la suite de ces séquences, le paiement en fin de mois de la mensualité, itéré 60 fois.
3) Le montant restant dû après paiement de la première trimestrialité est égal aux trimestrialités alors à échoir, ramenées au tarif, soit avec le moteur :
\begin{align*} 15 \cdot 4 -1 &\rightarrow N\\ \num{2254.88} &\rightarrow PMT\\ \num{0} &\rightarrow FV\\ \text{END} &\rightarrow Beg/End\\ 4 &\rightarrow P/YR\\ \num{3.6} &\rightarrow I/YR\\ -\num{98795.12} &\leftarrow PV \end{align*}4) Au taux effectif mensuel, noté $i$, la trimestrialité à échoir unitaire dans un trimestre se ramène à $(1+i)^{-3}$ et les mensualités successives de montant égal au tiers de la trimestrialité intervenant dans deux, trois et quatre mois se ramènent en cumulé à $1/3 \cdot (1+i)^{-3} \cdot ((1+i)+1+1/(1+i))$.
L’écart relatif du 2e montant au er est égal à $1/3 \cdot ((1+i)+1+1/(1+i))-1$. Au deuxième ordre, $1/(1+i)=1-i+i^2+ o(i^2)$ et donc cet écart relatif est équivalent à $i^2/3$ ce qui pour $i$ égal à $\num{0.30} \%$ ou $\num{0.35} \%$ est inférieur à $$\num{1e-5}$.
5) Avec l’approximation demandée, nous avons après la mise à disposition du capital prêté, un mois avec à sa fin le paiement de la mensualité puis, 180 mois avec à leur fin le paiement de la mensualité et du tiers de la trimestrialité et enfin, 59 mois avec à leur fin le paiement de la mensualité.
Le moteur à flux variables de la calculatrice financière permet alors d’estimer le taux mensuel d’équilibre :
\begin{align*} \num{1} &\rightarrow P/YR\\ -\num{250000} &\rightarrow CF_0\\ \num{877.67} &\rightarrow CF_1\\ \num{877.67}+\num{2254.88}/3 &\rightarrow CF_2\\ \num{180} &\rightarrow N_2\\ \num{877.67} &\rightarrow CF_3\\ \num{59} &\rightarrow N_3\\ \num{0.3169} &\leftarrow IRR/YR \end{align*}Le taux mensuel obtenu $\num{0.3169} \%$ est équivalent à $\num{3.80} \%$ annuel.
\begin{align*} \num{1} &\rightarrow P/YR\\ -\num{249000} &\rightarrow CF_0\\ \num{927.67} &\rightarrow CF_1\\ \num{927.67}+\num{2254.88}/3 &\rightarrow CF_2\\ \num{180} &\rightarrow N_2\\ \num{927.67} &\rightarrow CF_3\\ \num{59} &\rightarrow N_3\\ \num{0.3557} &\leftarrow IRR/YR \end{align*} \end{tabular}Le taux mensuel obtenu $\num{0.3557} \%$ est équivalent à $\num{4.27} \%$ annuel.