Vous voulez acheter une voiture de $\num{12000} \text{€}$. Le vendeur vous offre un crédit sur 60 mois, avec des mensualités constantes de $\num{218.53} \text{€}$. Il vous tient le discours suivant : “ 60 fois $\num{218.53}$ font $\num{13111.80}$, soit $\num{1111.80} \text{€}$ d’intérêts pour 5 ans, soit $\num{222.36} \text{€}$ par an pour un prêt de $\num{12000} \text{€}$, soit un taux annuel de $\num{1.85} \text{%}$, ce n’est pas cher ”.
Mais les mensualités ne servent pas uniquement à payer des “ intérêts ”; leur cumul sert aussi à rembourser le principal, à savoir la somme prêtée. Au départ, le concours est de $\num{12000} \text{€}$ ; au terme du prêt, il sera nul. En première approximation, on peut estimer que le concours sera de $\num{6000} \text{€}$ en moyenne pendant la durée du prêt. En rapportant les “ intérêts annuels ” à ce montant, on obtient un taux annuel de $\num{3.71} \text{%}$.
L’appréciation du coût de l’emprunt varie du simple au double. Il a été jugé nécessaire de fournir au consommateur un indicateur du coût des emprunts qui lui sont proposés. Ainsi, le code de la consommation demande que soit communiqué au client, au moment de l’offre de crédit, un taux, le taux annuel effectif global du prêt, TAEG en abrégé.
L’annexe à l’article R. 314‑3 de ce code dispose que “ L’équation de base, qui définit le taux annuel effectif global (TAEG), exprime sur base annuelle l’égalité entre, d’une part, la somme des valeurs actualisées des utilisations du crédit et, d’autre part, la somme des valeurs actualisées des montants des remboursements et paiements des frais, soit : $$ \sum_{k=1}^{m} C_{k} (1+X)^{-t_{k}}=\sum_{l=1}^{m’} D_{l}(1+X)^{-s_{l}} $$
- $X$ est le TAEG ;
- $m$ désigne le numéro d’ordre de la dernière utilisation effectuée sur le crédit ;
- $k$ désigne le numéro d’ordre d’une utilisation effectuée sur le crédit, donc $1 \leq k \leq m$ ;
- $C_{k}$ est le montant d’une utilisation effectuée sur le crédit numéro $k$ ;
- $t_{k}$ désigne l’intervalle de temps, exprimé en années et fractions d’année, entre la date de la première utilisation effectuée sur le crédit et la date d’une utilisation effectuée, donc $t _{1} = 0$ ;
- $m’$ désigne le numéro d’ordre du dernier remboursement ou paiement de frais ;
- $l$ désigne le numéro d’ordre remboursement ou paiement de frais, donc 1 $\leq l\leq m’$ ;
- $D_{l}$ est le montant d’un remboursement ou paiement de frais ;
- $s_{l}$ désigne l’intervalle de temps, exprimé en années et fractions d’année, entre la date de la première utilisation effectuée sur le crédit et la date de chaque remboursement ou paiement de frais. ”.
Dans notre exemple du prêt automobile, on obtient si les mensualités commencent à être payer un mois après l’obtention du crédit : $$\begin{align*} \num{12000} \text{€} = & + \num{218.53} \text{€ } \times (1 + i)^{-1/12} + \num{218.53} \text{€} \times (1 + i)^{-2/12}\\ & + \num{218.53} \text{€} \times (1 + i)^{-3/12} + \cdots+ \num{218.53} \text{€} \times (1 + i)^{-60/12} \end{align*}$$ Nous reconnaissons dans le membre de droite, la somme d’une suite en progression géométrique de raison $(1 + i)^{-1/12}$ : $$ \num{12000} \text{€} = \num{218.53} \text{€} \times \tfrac {\textstyle (1 + i)^{-1/12} – (1 + i)^{-60/12}\times (1 + i)^{-1/12}} {\textstyle 1 – (1 + i)^{-1/12}} $$ En multipliant numérateur et dénominateur du membre de droite par $(1 + i)^{1/12}$ : $$ \num{12000} \text{€} =\num{218.53} \text{€} \times \tfrac {\textstyle 1 – (1 + i)^{-60/12}} {\textstyle (1 + i)^{1/12} -1} $$ Le rapport du capital, $K$, sur la mensualité, $M$, vaut $\num{54.91}$. On cherche donc une solution à : $$ \num{54.91}=\tfrac {\textstyle 1 – (1 + i)^{-5}}{\textstyle (1 + i)^{1/12} – 1} $$ Comme somme de fonctions strictement décroissantes de $\left]-1,+\infty \right[$ vers $\left]0,+\infty \right[$, le membre de droite admet une seule et unique solution pour toute valeur strictement positive à gauche.
Le membre de droite donne respectivement $\num{57.28}$ et $\num{54.77}$ avec $\num{1.85} \text{%}$ et $\num{3.71} \text{%}$ les évaluations du début. La seconde est plus proche du résultat.
Un auditeur trouve en utilisant les fonctions de la calculatrice financière $\num{3.54} \text{%}$. Vérifions la valeur du membre de droite ; on obtient $\num{54.99}$. Ce n’est pas le bon résultat.
Mais le calcul a été bien mené. Le moteur de la calculette a cherché le taux mensuel qui rend égal le montant prêté aux mensualités et exprime ce taux mensuel en taux annuel en le multipliant par douze. L’analyse de l’équation de base montre que la relation entre le TAEG et ce taux mensuel est différente : $1+\text {TAEG}=(1+\text {taux mensuel solution})^{12}$ ; le TAEG, qui est un taux annuel, et le taux mensuel solution sont dits “ équivalents ”.
En divisant par 12 le résultat trouvé par la calculette, on obtient un taux mensuel de $\num{0.2952} \text{%}$ qui a pour taux annuel équivalent $\num{3.60} \text{%}$.
On vérifie que, pour cette valeur, le membre de droite est égal à $\num{54.91}$. Le taux annuel effectif global du prêt est $\num{3.60} \text{%}$.