La Licorne a délivré le premier juin deux mille douze, quatre mille prêts à la consommation de cinq mille euros, remboursables en trente-six mensualités constantes, à terme échu,
Pendant toute la durée des prêts, La Licorne facture chaque mois des intérêts arrêtés à cinq pour mille du capital restant dû, Lors de la délivrance des prêts, elle a facturé, à chacun d’eux, quinze euros de frais de dossier.
1.
a) quel est le montant des mensualités ?
b) quel est le taux effectif global des prêts ?
c) pour chacun des prêt, quel est le capital restant dû après sa délivrance, après le paiement de la douzième mensualité, de la vingt-quatrième et de la trente-sixième ?
La Licorne estime que chaque mois deux nouveaux emprunteurs parmi les quatre mille ne sera plus en état de rembourser son prêt et qu’aucun emprunteur ne remboursera par anticipation son prêt.
2.
a) selon La Licorne, combien d’emprunteurs verseront leur douzième mensualité ? leur vingt-quatrième ? leur trente-sixième ?
b) selon La Licorne, quel est le nombre moyen de mensualités qu’elle recevra chaque mois pendant la période s’écoulant juste après le versement du prêt et le versement de la douzième mensualité ? pendant la période s’écoulant juste après le versement des douzièmes mensualités et le versement des vingt-quatrièmes mensualités ? après le versement des vingt-quatrièmes mensualités et le versement des trente-sixièmes mensualités ?
c) quel est le montant mensuel moyen que La Licorne s’attend à encaisser pendant la période s’écoulant juste après le versement du prêt et le versement de la douzième mensualité ? pendant la période s’écoulant juste après le versement des douzièmes mensualités et le versement des vingt-quatrièmes mensualités ? après le versement des vingt-quatrièmes mensualités et le versement des trente-sixièmes mensualités ?
d) estimer le taux de rendement actuariel qu’escompte La Licorne de ce portefeuille de prêts.
e) cette estimation est-elle par excès ou par défaut ?
La valeur ramenée à un taux mensuel fixe, d’une mensualité à terme échu, dont les termes sont en progression arithmétique de raison un et commençant par un, est égale à la différence, divisée par le taux mensuel, entre la mensualité d’avance, de terme constant un et ayant le même nombre de termes, et de la valeur ramenée d’un terme d’un montant égal au nombre de termes de la mensualité et intervenant au moment du versement de la dernière mensualité de la mensualité d’origine.
3.
a) calculer la valeur ramenée des sommes attendues par La Licorne, en utilisant l’estimation du 2 d).
b) cette estimation est-elle par excès ou par défaut ?
1) a) $\num{152.11} \text{€}$ b) $\num{6.38} \%$ c) respectivement $\num{3432.04} \text{€}$, $\num{1767.36} \text{€}$ et $\num{0.00} \text{€}$
2) a) respectivement 3978, 3954 et 3930 personnes b) respectivement 3989, 3966 et 3942 personnes en moyenne c) respectivement $\num{606766.79} \text{€}$, $\num{603268.26} \text{€}$ et $\num{599617.62} \text{€}$ en moyenne
d) En utilsant le moteur à flux variable on obtient un approché du taux de rendement à $\num{5.79} \%$ e) Cette estimation est par excès puisqu’en moyennanant on a déplacé des sommes du plus près au plus loin
\begin{align*} \num{1} &\rightarrow P/YR\\ -\num{19940000} &\rightarrow CF_0\\ \num{606766.79} &\rightarrow CF_1\\ \num{12} &\rightarrow N_1\\ \num{603268.26} &\rightarrow CF_2\\ \num{12} &\rightarrow N_2\\ \num{599617.62} &\rightarrow CF_3\\ \num{12} &\rightarrow N_3\\ \num{0.4669} &\leftarrow IRR/YR \end{align*}Le taux mensuel obtenu, $\num{0,4669} \%$, est équivalent à $\num{5,79} \%$ annuel.
e) La valeur de la serie arithmétique de 36 termes commençcant par 1 et de raison 1 ramenée à $\num{0.4669} \%$ mensuel vaut $\num{561.64}$. On en déduit la valeur des flux pour la banque, $\num{-2694.67} \text{€}$, le taux est bien par excès. En utiliisant le solver du tableur on obtint un rendement de $\num{5.78} \%$ pour la banque.