La nécessité d’un moteur
Soit l’équation suivante où l’on cherche $i$ en fonction de $x > 0$ et de $n > 0$ : $$ \tfrac {\textstyle 1 – (1 + i)^{-n}}{\textstyle i} = x \text{, en convenant que } i = 0 \text{ est solution lorsque }x = n $$ L’équation précédente en est un cas particulier avec $x = \num{54.91}$ et $n = 60$, $i$ étant ici le taux mensuel équivalent au taux annuel cherché précédemment.
Nous voyons que lorsque $n$ est entier, le membre de gauche correspond comme précédemment à une somme d’une série géométrique, la raison en étant $1+i$.
Plus généralement, le membre de gauche est strictement décroissant par rapport à $i$ (cf. ). Sa limite en $-1^{+}$ est $+ \infty$ et en $+ \infty$, $- \infty$.
Pour $x>0$ et $n>0$ donnés, l’équation a donc une solution $i$ et une seule sur $\left]-1,+\infty \right[$.
Pour trouver la solution, on pourrait utiliser une table à double entrée avec les résultats correspondants et procéder alors par interpolation/extrapolation.
Dans l’exemple précédent, calculons le membre de droite pour $\num{3.500} \text{%}$, $\num{3.700} \text{%}$ et $\num{3.800} \text{%}$. On obtient respectivement $\num{55.044}$, $\num{54.783}$ et $\num{54.653}$.
L’interpolation consiste à prendre deux résultats encadrant la valeur cible alors que l’extrapolation utilise deux résultats qui sont du même coté par rapport à la valeur cible.
Avec $\num{3.500} \text{%}$ et $\num{3.700} \text{%}$ on obtient $\num{3.600} \text{%}$ comme approximation ; avec $\num{3.700} \text{%}$ et $\num{3.800} \text{%}$, $\num{3.601} \text{%}$. Ces méthodes sont très efficaces mais sont conditionnées par la présence de la table des résultats.
On peut alors envisager de partir de deux points quelconques et d’interpoler suffisamment de fois en prenant à chaque pas comme nouvelles hypothèses la meilleure des deux précédentes et l’approximation obtenue pour obtenir une convergence. Ceci est possible du fait de la convergence induite par la stricte monotonie de la fonction $f$ réduite à la variable $i$. Mais le nombre d’itérations peut être élevé si on part de points trop éloignés de la solution et demande de bien organiser les travaux.
Il est donc fait le choix ici d’utiliser un moteur financier qui procède au calcul. Ce peut être celui d’un tableur, d’une calculatrice résolvant les équations ou d’une calculatrice financière. C’est cette dernière solution qui est retenue avec une prédilection pour l’HP 10BII+, l’HP 12C étant proscrite.
Le moteur
Voilà, nous l’avons dans notre main la fameuse calculatrice.
Et le premier geste est de la poser.
Que cherchons à faire ? Résoudre : $$ \tfrac {\textstyle 1 – (1 + i)^{-5}}{\textstyle (1 + i)^{1/12} – 1} = \num{54.91} $$ La notice succincte livrée avec l’outil laisse présager que l’on obtient la solution, “ l’intérêt par an ”, en indiquant “ le nombre d’échéances, la valeur actuelle, l’échéance et la valeur future ”, en précisant si l’on est en “ mode Begin ” ou “ End ” et “ le nombre de paiements par année ”. Pour faire cela, il convient d’assigner des valeurs à des registres de la calculatrice et d’appeler le registre voulu.
Dans le cas d’espèce, par analogie avec l’exemple de la notice, on procède ainsi : $$\begin{align*} \num{60} &\rightarrow N\\ -\num{10000} &\rightarrow PV\\ \num{218.53} &\rightarrow PMT\\ \num{0} &\rightarrow FV\\ \text{END} &\rightarrow Beg/End\\ \num{12} &\rightarrow P/YR\\ \num{3.54} &\leftarrow I/YR \end{align*}$$ Qu’a donc fait le moteur?
Pour cela, regardons le “ Manuel d’utilisation ” de la “ hp 10BII calculatrice financière ”. Ce manuel est une référence indispensable pour savoir se servir de la calculatrice et comprendre ce qu’elle fait.
En annexe, figurent les “ Calculs financiers sur des flux constants ” :
Facteur de mode paiement : $S = 0$ pour le mode End ; $S=1$ pour le mode Begin. $$ i\% =\tfrac{\textstyle I/YR} {\textstyle P/YR} $$ $$ 0=PV+PMT\times(1+S \times i \%/100) \times \displaystyle \tfrac{\textstyle 1-(1+i \%/100)^{-N}} {\textstyle i\%/100}+FV\times(1+i \%/100)^{-N} $$ Ces équations établissent des relations entre les valeurs dans les registres $N$, $PV$, $PMT$, $FV$, $Beg/End$, $P/YR$ et $I/YR$ en introduisant deux variables intermédiaires $S$ et $i\%$.
Dans quelle mesure ces équations ont un lien avec la notre?
Tout d’abord, il faut que $PV$ ou $FV$ soit nul. On retiendra $FV=0$. Ensuite, $i\%$/100 est un bon candidat pour représenter notre $(1 + i)^{1/12} -1$. Alors avec $S=0$ et $N=60$ et un rapport $-PV/PMT$ égal à $\num{54.91}$, on obtient notre équation.
Le résultat du calcul mené, $\num{3.54}$, s’interprète ainsi comme $(1 + i)^{1/12} -1 = \num{3.54} \text{%}/12$.
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