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Promenades en mathématiques financières

Un cours pour comprendre
les objets financiers

Les exemples d’emprunts de la réglementation

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Les exemples de l’annexe III de la directive 98/7/CE

La réglementation relative à l’information contractuelle en matière de prêt à la consommation résultait de la directive 98/7/CE, largement inspirée par la France.

La définition du TAEG figure dans l’annexe i de cette directive et une partie des exemples de l’annexe au décret no 2002‑ 928 y figurent en annexe iii.

1er exemple

La somme prêtée de $\num{1000} \text{€}$ est remboursée en un seul versement de $\num{1200} \text{€}$, $\num{1.5}$ an après la date du prêt.

Le rapport $\num{1200}$ à $\num{1000}$ fournit $(1+i)$ où $i$ est le taux sur $\num{1.5}$ an. Pour trouver le taux annuel équivalent, on exposante $(1+i)$ par $2/3$, rapport entre un an et $\num{1.5}$ an, et on diminue le résultat de un : le TAEG est de $\num{12.92} \text{%}$.

2e exemple

La somme prêtée de $\num{1000} \text{€}$, mais le prêteur retient $\num{50} \text{€}$ pour frais de dossier, de sorte que le prêt ne porte en fait que sur $\num{950} \text{€}$ ; le remboursement de $\num{1200} \text{€}$, comme dans le premier exemple, est effectué $\num{1.5}$ an après la date du prêt.

Le rapport $\num{1200}$ à $\num{950}$ fournit $(1+i)$ où $i$ est le taux sur $\num{1.5}$ an. Par équivalence, on obtient un TAEG de $\num{16.85} \text{%}$.

3e exemple

La somme prêtée est de $\num{1000} \text{€}$ remboursables en deux versements de $\num{600} \text{€}$ chacun, effectués respectivement après un et deux ans.

Avec le moteur financier :

\begin{align*} \num{2} &\rightarrow N\\ -\num{1000} &\rightarrow PV\\ \num{600.00} &\rightarrow PMT\\ \num{0} &\rightarrow FV\\ \text{END} &\rightarrow Beg/End\\ \num{1} &\rightarrow P/YR\\ \num{13.07} &\leftarrow I/YR \end{align*}

Le TAEG est de $\num{13.07} \text{%}$.

4e exemple

La somme prêtée est $\num{1000} \text{€}$ et les montants à payer par l’emprunteur sont après trois mois $\num{272} \text{€}$, après six mois $\num{272} \text{€}$ et après douze mois $\num{544} \text{€}$.

La documentation de la calculatrice nous montre qu’elle peut déterminer le taux trimestriel effectif global grâce à son application flux variables :

\begin{align*} -\num{1000} &\rightarrow CF_0\\ \num{272} &\rightarrow CF_1\\ \num{2} &\rightarrow N_1\\ \num{0} &\rightarrow CF_2\\ \num{544} &\rightarrow CF_3\\ \num{3.14} &\leftarrow IRR/YR \end{align*}

Le résultat est sensible au registre $P/YR$ où a été mis 1. Pour faciliter l’obtention du TAEG, on porte ce registre à 4 et alors $IRR/YR$ donne $\num{12.58}$.

Le taux annuel proportionnel au taux trimestriel effectif global est $\num{12.58} \text{%}$. Par conversion, on obtient le taux annuel équivalent à ce taux trimestriel et le TAEG est donc de $\num{13.19} \text{%}$.

Les autres exemples de la règlementation française

5e exemple

La somme prêtée est de $\num{1000} \text{€}$ remboursables en 36 mensualités à terme échu d’un montant $\num{30.42} \text{€}$.

Avec la calculatrice on obtient le taux annuel proportionnel au taux mensuel effectif global qui faudra convertir en taux annuel équivalent :

\begin{align*} \num{36} &\rightarrow N\\ -\num{10000} &\rightarrow PV\\ \num{30.42} &\rightarrow PMT\\ \num{0} &\rightarrow FV\\ \text{END} &\rightarrow Beg/End\\ \num{12} &\rightarrow P/YR\\ \num{6.00} &\leftarrow I/YR\\ \num{6.16} &\leftarrow EFF \end{align*}

Le TAEG vaut $\num{6.16} \text{%}$.

Exemple 5 bis

La somme prêtée est de $\num{10000} \text{€}$ remboursables en 36 mensualités à terme échu d’un montant $\num{317.73} \text{€}$, la première mensualité intervenant un mois et demi après la mise à disposition des fonds.

L’équation de base s’écrit : \begin{align*} \num{10000} \text{€} = &+ \num{317.73} \text{€ } \times (1 + i)^{-1/12-1/24} + \num{317.73} \text{€} \times (1 + i)^{-2/12-1/24} \\&+ \num{317.73} \text{€} \times (1 + i)^{-3/12-1/24} + \cdots+ \num{317.73} \text{€} \times (1 + i)^{-36/12-1/24} \end{align*}

On reconnaît à droite une somme d’une série géométrique de raison $(1 + i)^{1/12}$, en la lisant de droite à gauche :

$\num{10000}/\num{317.73} = \tfrac {\textstyle (1 + i)^{-1/24} – (1 + i)^{-36/12-1/24}} {\textstyle i_m}$, avec $i_m$ égal au taux mensuel équivalent au taux annuel $i$, cherché, $i_m=(1 + i)^{1/12}-1$

Regardons le terme $1-(1 + i)^{-1/24}$ : il est égal à $i/24 +O(i^2)$. De même, $i_m=(1 + i)^{-1/12}-1=i/12 +O(i^2)$.

$(1-(1 + i)^{-1/24})/i_m$ est donc égal à $1/2 +O(i)$. Nous rajoutons la gauche de cette expression au membre de droite de notre équation et la droite au membre de gauche. Nous considérons alors $i$ vérifiant l’équation : $$ \num{10000}+\num{317.73}/2 \approx \num{317.73} ((1 – (1 + i)^{-36/12-1/24})/i_m $$

Cette formule est intéressante car elle se rapproche de celle du moteur financier avec :

\begin{align*} \num{36.5} &\rightarrow N\\ -\num{10000}-\num{317.73}/2 &\rightarrow PV\\ \num{317.73} &\rightarrow PMT\\ \num{0} &\rightarrow FV\\ \text{END} &\rightarrow Beg/End\\ \num{12} &\rightarrow P/YR\\ \end{align*}

On assignant ces valeurs, on obtient pour $I/YR$, $\num{8.69}$ qui, après conversion en taux effectif, donne un TAEG de $\num{9.05} \text{%}$.

Le moteur accepte des valeurs non entières pour le registre $N$.

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