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Les exemples de l’annexe III de la directive 98/7/CE
La réglementation relative à l’information contractuelle en matière de prêt à la consommation résultait de la directive 98/7/CE, largement inspirée par la France.
La définition du TAEG figure dans l’annexe i de cette directive et une partie des exemples de l’annexe au décret no 2002‑ 928 y figurent en annexe iii.
1er exemple
La somme prêtée de $\num{1000} \text{€}$ est remboursée en un seul versement de $\num{1200} \text{€}$, $\num{1.5}$ an après la date du prêt.
Le rapport $\num{1200}$ à $\num{1000}$ fournit $(1+i)$ où $i$ est le taux sur $\num{1.5}$ an. Pour trouver le taux annuel équivalent, on exposante $(1+i)$ par $2/3$, rapport entre un an et $\num{1.5}$ an, et on diminue le résultat de un : le TAEG est de $\num{12.92} \text{%}$.
2e exemple
La somme prêtée de $\num{1000} \text{€}$, mais le prêteur retient $\num{50} \text{€}$ pour frais de dossier, de sorte que le prêt ne porte en fait que sur $\num{950} \text{€}$ ; le remboursement de $\num{1200} \text{€}$, comme dans le premier exemple, est effectué $\num{1.5}$ an après la date du prêt.
Le rapport $\num{1200}$ à $\num{950}$ fournit $(1+i)$ où $i$ est le taux sur $\num{1.5}$ an. Par équivalence, on obtient un TAEG de $\num{16.85} \text{%}$.
3e exemple
La somme prêtée est de $\num{1000} \text{€}$ remboursables en deux versements de $\num{600} \text{€}$ chacun, effectués respectivement après un et deux ans.
Avec le moteur financier :
\begin{align*} \num{2} &\rightarrow N\\ -\num{1000} &\rightarrow PV\\ \num{600.00} &\rightarrow PMT\\ \num{0} &\rightarrow FV\\ \text{END} &\rightarrow Beg/End\\ \num{1} &\rightarrow P/YR\\ \num{13.07} &\leftarrow I/YR \end{align*}Le TAEG est de $\num{13.07} \text{%}$.
4e exemple
La somme prêtée est $\num{1000} \text{€}$ et les montants à payer par l’emprunteur sont après trois mois $\num{272} \text{€}$, après six mois $\num{272} \text{€}$ et après douze mois $\num{544} \text{€}$.
La documentation de la calculatrice nous montre qu’elle peut déterminer le taux trimestriel effectif global grâce à son application flux variables :
\begin{align*} -\num{1000} &\rightarrow CF_0\\ \num{272} &\rightarrow CF_1\\ \num{2} &\rightarrow N_1\\ \num{0} &\rightarrow CF_2\\ \num{544} &\rightarrow CF_3\\ \num{3.14} &\leftarrow IRR/YR \end{align*}Le résultat est sensible au registre $P/YR$ où a été mis 1. Pour faciliter l’obtention du TAEG, on porte ce registre à 4 et alors $IRR/YR$ donne $\num{12.58}$.
Le taux annuel proportionnel au taux trimestriel effectif global est $\num{12.58} \text{%}$. Par conversion, on obtient le taux annuel équivalent à ce taux trimestriel et le TAEG est donc de $\num{13.19} \text{%}$.
Avec le tableur, on utilise la fonctionnalité “ valeur cible ” pour trouver le taux d’équilibre.
| $\num{12.55}$ % | $=$(1+L(1)C)^4-1 | ||
| $\num{3.000}$ % | |||
| 1 | $\num{1000.00}$ | $\num{3.69}$ | =-VA(L2C3;LC(-2);LC(-1);L(1)C;1) |
| 2 | $\num{272.00}$ | $\num{1033.91}$ | =-VA(L2C3;LC(-2);LC(-1);L(1)C;1) |
| 1 | $\num{0.00}$ | $\num{528.16}$ | =-VA(L2C3;LC(-2);LC(-1);L(1)C;1) |
| 1 | $\num{544.00}$ | $\num{544.00}$ | =-VA(L2C3;LC(-2);LC(-1);L(1)C;1) |
En L2C3 figure le taux trimestriel candidat et juste au-dessus est calculé le TAEG correspondant. Pour chaque flux variable itéré, on calcule sa valeur ramené d’avance au taux trimestriel candidat en en reprenant en valeur finale ce que vaut le flux itéré suivant.
Le but est de trouver le taux trimestriel d’équilibre, c’est à dire d’obtenir zéro comme valeur ramené du premier flux itéré corrigé du suivant.
Pour cela, on utilise la fonctionnalité “ valeur cible ”.
Elle touve la valeur d’entrée dans une case qui permet d’obtenir une valeur déterminé dans une autre case qui dépend de cette valeur d’entrée.
La valeur à définir est la valeur ramenée du premier flux corrigée de la valeur du suivant, la valeur à atteindre est zéro et la cellule à modifier est celle où figure le taux trimestriel, toutes les formules ici sont commandées par cette cellule.
On obtient :
| $\num{13.19}$ % | $=$(1+L(1)C)^4-1 | ||
| $\num{3.145}$ % | |||
| 1 | $\num{1000.00}$ | $\num{0.00}$ | =-VA(L2C3;LC(-2);LC(-1);L(1)C;1) |
| 2 | $\num{272.00}$ | $\num{1033.91}$ | =-VA(L2C3;LC(-2);LC(-1);L(1)C;1) |
| 1 | $\num{0.00}$ | $\num{528.16}$ | =-VA(L2C3;LC(-2);LC(-1);L(1)C;1) |
| 1 | $\num{544.00}$ | $\num{544.00}$ | =-VA(L2C3;LC(-2);LC(-1);L(1)C;1) |
On retrouve un TAEG à $\num{13.19}$ %.
Les autres exemples de la règlementation française
5e exemple
La somme prêtée est de $\num{1000} \text{€}$ remboursables en 36 mensualités à terme échu d’un montant $\num{30.42} \text{€}$.
Avec la calculatrice on obtient le taux annuel proportionnel au taux mensuel effectif global qui faudra convertir en taux annuel équivalent :
\begin{align*} \num{36} &\rightarrow N\\ -\num{1000} &\rightarrow PV\\ \num{30.42} &\rightarrow PMT\\ \num{0} &\rightarrow FV\\ \text{END} &\rightarrow Beg/End\\ \num{12} &\rightarrow P/YR\\ \num{6.00} &\leftarrow I/YR\\ \num{6.16} &\leftarrow EFF \end{align*}Le TAEG vaut $\num{6.16} \text{%}$.
Avec le tableur :
| 36 | |
| $\num{30.42}$ | |
| $\num{1000.00}$ | |
| $\num{0.500}$ % | =TAUX(L(-3)C;L(-2)C;-L(-1)C) |
| $\num{6.16}$ % | =(1+L(-1)C)^12-1 |
On trouve le même TAEG de $\num{6.16} \text{%}$.
Exemple 5 bis
La somme prêtée est de $\num{10000} \text{€}$ remboursables en 36 mensualités à terme échu d’un montant $\num{317.73} \text{€}$, la première mensualité intervenant un mois et demi après la mise à disposition des fonds.
L’équation de base s’écrit : \begin{align*} \num{10000} \text{€} = &+ \num{317.73} \text{€ } \times (1 + i)^{-1/12-1/24} + \num{317.73} \text{€} \times (1 + i)^{-2/12-1/24} \\&+ \num{317.73} \text{€} \times (1 + i)^{-3/12-1/24} + \cdots+ \num{317.73} \text{€} \times (1 + i)^{-36/12-1/24} \end{align*}
On reconnaît à droite une somme d’une série géométrique de raison $(1 + i)^{1/12}$, en la lisant de droite à gauche :
$\num{10000}/\num{317.73} = \tfrac {\textstyle (1 + i)^{-1/24} – (1 + i)^{-36/12-1/24}} {\textstyle i_m}$, avec $i_m$ égal au taux mensuel équivalent au taux annuel $i$, cherché, $i_m=(1 + i)^{1/12}-1$
Regardons le terme $1-(1 + i)^{-1/24}$ : il est égal à $i/24 +O(i^2)$. De même, $i_m=(1 + i)^{-1/12}-1=i/12 +O(i^2)$.
$(1-(1 + i)^{-1/24})/i_m$ est donc égal à $1/2 +O(i)$. Nous rajoutons la gauche de cette expression au membre de droite de notre équation et la droite au membre de gauche. Nous considérons alors $i$ vérifiant l’équation : $$ \num{10000}+\num{317.73}/2 \approx \num{317.73} ((1 – (1 + i)^{-36/12-1/24})/i_m $$
Cette formule est intéressante car elle se rapproche de celle du moteur financier avec :
\begin{align*} \num{36.5} &\rightarrow N\\ -\num{10000}-\num{317.73}/2 &\rightarrow PV\\ \num{317.73} &\rightarrow PMT\\ \num{0} &\rightarrow FV\\ \text{END} &\rightarrow Beg/End\\ \num{12} &\rightarrow P/YR\\ \end{align*}On assignant ces valeurs, on obtient pour $I/YR$, $\num{8.69}$ qui, après conversion en taux effectif, donne un TAEG de $\num{9.05} \text{%}$.
Le moteur accepte des valeurs non entières pour le registre $N$.
Essayons avec le tableur :
| $\num{36.5}$ | |
| $\num{317.73}$ | |
| -$\num{1000.00}-\num{317.73}/2$ | |
| $\num{0.724}$ % | =TAUX(L(-3)C;L(-2)C;-L(-1)C) |
| $\num{9.05}$ % | =(1+L(-1)C)^12-1 |
Le tableur, accepte aussi des valeurs non entières pour $N$ et on trouve le même TAEG de $\num{9.05} \text{%}$.
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