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Généralisation du cas précédent
La somme $S$ se rembourse en $n$ mensualités d’un montant $m$, le première mensualité intervenant $(1-\alpha)$ mois, $\alpha$ étant positif ou négatif et “ petit ”, c’est à dire compris entre $-1$ et $1$.
Toujours avec les mêmes raisonnements, l’équation de base revient à, avec $i_m$ égal au taux mensuel équivalent au taux annuel $i$ cherché :
\begin{equation*} S/m =((1 + i)^{\alpha/12} – (1 + i)^{(-n+\alpha)/12})/i_m \end{equation*}Comme tout à l’heure, intéressons nous au terme à $1-(1 + i)^{\alpha/12}$. Il est égal à $-\alpha i/12+O(i^2)$ et donc $1-(1 + i)^{\alpha/12}/i_m=-\alpha +O(i)$. Nous rajoutons la gauche de cette expression au membre de droite de notre équation et la droite au membre de gauche. Nous considérons alors $i$ vérifiant l’équation approchante : \begin{equation*} S-\alpha m \approx m ((1 – (1 + i)^{(-n+\alpha)/12})/i_m \end{equation*} Cette équation se résout avec le moteur financier :
\begin{align*} n-\alpha &\rightarrow N\\ -S+\alpha \cdot m &\rightarrow PV\\ m &\rightarrow PMT\\ \num{0} &\rightarrow FV\\ \text{END} &\rightarrow Beg/End\\ \num{12} &\rightarrow P/YR \end{align*}On assignant ces valeurs, on obtient pour $I/YR$ qui, après conversion en taux effectif, donne le TAEG du prêt.
Cette méthode sera appelée par la suite la méthode de la durée résiduelle, nette de mensualité courue.
Regardons l’erreur commise en prenant $\alpha{}$ pour $((1 + i)^{\alpha/12}-1)/i_m$
Au second ordre, $(1 + i)^{\alpha/12}-1$ donne $(\alpha /12)\cdot i- ((\alpha /12)(1-\alpha /12)/2)\cdot i^2 +O(i^3)$ et $i_m=(1 + i)^{1/12}-1=(1/12)\cdot i -(11 \cdot 12^2/2) \cdot i^2+ O(i^3)$.
Ainsi l’erreur en prenant $\alpha{}$ est par excès de $\alpha \cdot i (1-\alpha )/24)\cdot i+ O(i^2)$.
On pourra vérifier qu’il n’y a pas d’erreur quand $\alpha$ vaut 0 ou 1.
Comment faire si la première mensualité intervient plus de 2 mois après la mise à disposition des fonds ?
Soit $d$ la durée avant la première mensualité.
Si $d$ est entier, on utilise la méthode des flux variables en prenant $d-1$ paiements nuls comme premiers flux.
Sinon, on encadre $d$ par deux entiers, $d_1$ et $d_1+1$, et on interpole le taux annuel proportionnel au taux effectif mensuel par les taux annuels proportionnels obtenus avec les flux variables pour $d_1$ et $d_1+1$.
Par exemple, la somme prêtée est de $\num{10000} \text{€}$ remboursables en 54 mensualités à terme échu d’un montant $\num{234.42} \text{€}$, la première mensualité intervenant 6 mois et une décade après la mise à disposition des fonds.
Avec les notations précédentes, ici $d=6+1/3$, on procède donc aux calculs sur flux variables suivants :
\begin{align*} -\num{10000} &\rightarrow CF_0\\ \num{0} &\rightarrow CF_1\\ 6 \text{, puis } 5&\rightarrow N_1\\ \num{234.42} &\rightarrow CF_2\\ 54 &\rightarrow N_2\\ \num{12} &\rightarrow P/YR \end{align*}On obtient successivement $\num{8.703}$ et $\num{8.988}$ dans le registre $IRR/YR$, soit avec pondération $\num{8.893}$, ce qui donne $\num{9.26} \%$ de TAEG.
À cette occasion, le lecteur apprendra du manuel de la calculatrice à rappeler les registres d’un calcul à flux variables et à modifier ceux qui l’intéressent.
Un calcul alternatif consiste à utiliser la méthode de la durée résiduelle, nette de mensualité courue.
Ici, $\alpha{}$ vaut $-(5+1/3)$ et la durée résiduelle $59+1/3$.
\begin{align*} 59+1/3 &\rightarrow N\\ -\num{10000}-\num{234.42} \cdot (5+1/3) &\rightarrow PV\\ \num{234.42} &\rightarrow PMT\\ 0 &\rightarrow FV\\ \text{END} &\rightarrow Beg/End\\ 12 &\rightarrow P/YR \end{align*}On obtient $I/YR=\num{8.572}$, un résultat qui s’écarte du précédent.
Donnons une approximation de $(1-(1 + i)^{-\alpha/12}-1)/i_m$ sur la base d’un taux annuel proportionnel de $\num{8.57} \% au taux effectif mensuel.
On observe que cette expression s’obtient avec l’opposé du registre $PV$ avec comme $I/YR$ le taux annuel proportionnel à $i_m$ en pourcent dans le système suivant :
\begin{align*} \alpha &\rightarrow N\\ 1 &\rightarrow PMT\\ 0 &\rightarrow FV\\ \text{END} &\rightarrow Beg/End\\ \num{12} &\rightarrow P/YR\\ I/YR &\rightarrow I/YR\\ \end{align*}Dans le cas d’espèces, on obtient en $-PV$ $\num{5.21}$ au lieu de $\num{5.33}$. C’est avec cette valeur que l’on applique à nouveau la méthode de la durée résiduelle, nette de mensualité courue :
\begin{align*} 59+1/3 &\rightarrow N\\ -\num{10000}-\num{234.42} \cdot \num{5.21} &\rightarrow PV\\ \num{234.42} &\rightarrow PMT\\ \num{0} &\rightarrow FV\\ \text{END} &\rightarrow Beg/End\\ \num{12} &\rightarrow P/YR \end{align*}On obtient $\num{8.70} \%$ dans $I/YR$.
Les deux méthodes donnent de résultats très proches, la seconde qui demande plus de changements de registres converge plus rapidement.