Demonstration

On pose : $S=(1+i)^{-1}+(1+i)^{-2}+\cdots+(1+i)^{-n}$

On a : $(1+i) \cdot S = 1 + (1+i)^{-1}+(1+i)^{-2}+\cdots+(1+i)^{-(n-1)}$

Par différence, les termes intermédiaires s’éliminant : $i \cdot S = 1-(1+i)^{-n}$

On a donc : $ S=\tfrac {\textstyle 1-(1+i)^{-n}}{\textstyle i}$

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