Considérons une obligation de prix $P$ en pied de coupon à une date donnée; alors il existe un et un seul taux $i$ qui égalise le prix plein de coupon avec les tombées attendues de l’obligation. Ce taux est appelé taux de rendement actuariel, en abrégé le TRA, de l’obligation.
$P+d \cdot C=\sum_{k=1}^{n} C \cdot (1+i)^{-(k-d)}+100 \cdot (1+i)^{-(n-d)}$, en notant $C$ le coupon, $n$ le nombre de coupons à échoir, $d$ le prorata d’année écoulée depuis le dernier coupon et en considérant que l’obligation est remboursée au pair.
La calculatrice financière dispose d’un outil de calcul pour les obligations qui permet de déterminer le TRA d’une obligation en fonction de son prix en pied de coupon et de faire l’opération inverse. Il vous appartient de consulter la documentation de la calculatrice pour maîtriser ces opérations.
Par analogie avec la méthode nette de mensualité courue vue précédemment, nous allons exhiber un calcul approché qui utilise le moteur de flux fixes.
L’équation précédente peut s’écrire en reconnaissant la somme d’une suite géométrique : $P+d \cdot C=C \cdot (1+i)^d \cdot (1-(1+i)^{-n})/i+100 \cdot (1+i)^{-(n-d)}$
En rajoutant $C \cdot (1-(1+i)^{d})/i$ aux deux membres, on obtient : $P+d \cdot C+ C \cdot (1-(1+i)^{d})/i= C \cdot (1-(1+i)^{-(n-d)})/i+100 \cdot (1+i)^{-(n-d)}$
Intéressons à $(1-(1+i)^{d})/i$. Ce terme est équivalent à $-d + O(i)$.
Nous obtenons donc :
$$P \approx C \cdot (1-(1+i)^{-(n-d)})/i+100 \cdot (1+i)^{-(n-d)}$$ <Or, l’équation $P = C \cdot (1-(1+i)^{-(n-d)})/i+100 \cdot (1+i)^{-(n-d)}$ peut se résoudre avec le moteur à flux fixes :
\begin{align*} \text{Durée résiduelle de l’obligation} &\rightarrow N\\ \text{− Prix en pied de coupon} &\rightarrow PV\\ \text{Coupon de l’obligation} &\rightarrow PMT\\ \text{Valeur de remboursement de l’obligation} &\rightarrow FV\\ END &\rightarrow Beg/End\\ 1 &\rightarrow P/YR\\ \text{TRA de l’obligation} &\leftarrow I/YR \end{align*}Équivalence entre le prix d’une obligation et son taux de rendement actuariel
Pour une obligation donnée, à une date donnée, disposer de son cours en pied de coupon permet d’établir son TRA.
Réciproquement, connaissant son TRA à une date donnée, on obtient le prix plein de coupon en ramenant ses tombées et donc son cours en pied de coupon.
À une date donnée, il existe donc une relation biunivoque entre le cours en pied de coupon d’une obligation et son TRA.
Le TRA est une mesure globale du prix de l’obligation, comme le TAEG l’est pour le coût d’un emprunt.
Par la suite, nous allons analyser le prix d’une obligation comme somme des prix de chacune de ses tombées à venir. Nous observerons alors que ses prix ne sont pas commandés par le TRA mais par chacun par un TRA propre et que c’est leur résultante qui donne le TRA de l’obligation.
D’aucune manière, le TRA commande la valeur à venir de l’obligation.
Ce constat nous amènera à infirmer le concept de duration d’une obligation qui n’aurait de sens que si, à toutes échéances, le TRA d’une obligation était le même, ce qui est contraire à l’observation des prix sur le marché.