Deux façons existent pour comparer des taux de période : on peut dire qu’ils sont proportionnels ou qu’ils sont équivalents.
Deux taux de période, $ t_{1}$ attaché à la durée $d_{1}$ et $t_{2}$ attaché à la durée $d_{2}$, sont dits proportionnels lorsque : $t_{2} = t_{1} \times ( d_{2} / d_{1})$. Par exemple, le taux par quinzaine de $\num{0.125} \text{%}$, est proportionnel au taux nominal annuel $\num{3.00} \text{%}$. De même lors de l’arrêt en fin de mois des “ intérêts ” sur découvert bancaire, les modalités de leur calcul pour une position débitrice déterminée reviennent à appliquer le taux proportionnel sur la durée de la position débitrice au taux nominal annuel, en comptant le nombre de jours pour les opérations avec les particuliers.
Deux taux de période, $ t_{1}$ attaché à la durée $d_{1}$ et $t_{2}$ attaché à la durée $d_{2}$, sont dits équivalents lorsque : $1+t_{2} = {(1+t_{1})}^ { d_{2} / d_{1}}$. Par exemple, $\num{0.500} \text{%}$ mensuel est équivalent à $\num{6.168} \text{%}$ annuel.
Avec la formule du binôme :
\begin{equation*} (1 + \num{0.500} \text{%})^{12} = 1 + 12\times \num{0.500} \text{%} + 12 \times 11/ 2 \times{ (10^3 / 2)}^{-2} + \ldots \end{equation*}Le terme de premier ordre, $12 \times \num{0.500} \text{%}$, correspond à $\num{6.00} \text{%}$, le taux proportionnel. Le terme de deuxième ordre, $33/2 \times 10^{-6}$, apporte un correctif de $\num{0.165} \text{%}$. Arrêter là le calcul est assez efficace au regard du résultat exact.
Le taux mensuel équivalent à \num{3.00} \text{%}$ annuel est \num{0.2466} \text{%}$. Avec la formule du binôme :
\begin{equation*} (1 + \num{3.00} \text{%}$)^{1/12} = 1 + 1/12 \times \num{3.00} \text{%}$ – 1/12 \times 11/12 / 2\times \num{3.00} \times (10^{-2})^{2} + \ldots \end{equation*}Le terme de premier ordre, $\num{3.00} \text{%} / 12$, correspond à $\num{0.250} \text{%}$, le taux proportionnel. Le terme de deuxième ordre, $11 / 12^{2}/ 2 \times 9\times 10^{-4} = 11/32\times 10^{-4}$, apporte un correctif de $\num{0.344} \times 10^{-4}$. Arrêter là le calcul est très efficace au regard du résultat exact.
Prenons le taux de période de $\num{0.500} \text{%}$ pour un mois. Par souci de comparaison, il est souhaitable d’exprimer un taux annuel qui lui corresponde. Ainsi, le taux annuel équivalent est $\num{6.18} \text{%}$ et le taux annuel proportionnel est $\num{6.00} \text{%}$.
Passage du taux nominal au taux effectif
Les calculatrices financières permettent de déterminer le taux annuel équivalent à un taux mensuel à partir du taux annuel proportionnel à ce même taux mensuel. Par exemple, en lisant le manuel de la HP 10B, la séquence d’instructions est la suivante pour un taux annuel de $\num{6.00} \text{%}$ proportionnel à un taux mensuel :
\begin{align*} \num{12} &\rightarrow P/YR\\ \num{6.00} &\rightarrow NOM\\ \num{6.18} &\leftarrow EFF \end{align*}Le registre $P/YR$ reçoit le nombre de mois dans l’année, 12, le registre $NOM$ enregistre le taux proportionnel en pourcentage et le registre $EFF$ donne le taux équivalent en pourcentage. Réciproquement, en assignant $\num{6.00}$ à $EFF$, on obtient $\num{5.84}$ dans $NOM$ : $\num{5.84} \text{%}$ est le taux annuel proportionnel au taux mensuel auquel est équivalent le taux annuel de $\num{6.00} \text{%}$.
\begin{align*} \num{12} &\rightarrow P/YR\\ \num{6.00} &\rightarrow EFF\\ \num{5.84} &\leftarrow NOM \end{align*}Le manuel exprime la relation qui existe entre les trois registres :
\begin{equation*} 1+ EFF / 100=(1+NOM/100 \div P/YR)^{P/YR} \end{equation*}