Une prestation est versée, pour un montant atteint, immédiatement. Le versement se poursuit année après année en appliquant un taux de maintien annuel. La prestation fait l’objet d’une revalorisation annuelle obtenue en rapportant le taux garanti au taux du tarif.
Ces prestations forment la garantie principale.
Le taux garanti au tarif est le taux du tarif.
Le calcul des prestations à venir peut être mené avec tout taux d’escompte.
Le tableau qui suit présente les résultats pour un montant atteint de la prestation de $\num{1}$ et un taux de maintien annuel de $\num{0.970}$.
| Taux garanti | Taux du tarif | $\num{4.5}$ % | $\num{4.5}$ % |
| Taux d’escompte | Taux du tarif | Taux du tarif | $\num{2.5}$ % |
| Taux du tarif | A | B | C |
| $\num{2.0}$ % | $\num{21.40}$ % | $\num{39.89}$ % | $\num{33.83}$ % |
| $\num{2.5}$ % | $\num{19.64}$ % | $\num{29.41}$ % | $\num{29.41}$ % |
| $\num{3.5}$ % | $\num{16.92}$ % | $\num{19.61}$ % | $\num{23.46}$ % |
| $\num{4.5}$ % | $\num{14.93}$ % | $\num{14.93}$ % | $\num{19.64}$ % |
Avec comme taux d’escompte et taux garanti, le taux du tarif, on obtient la provision au tarif. C’est le calcul de la colonne A.
Avec un taux garanti à $\num{4.5} \%$, le calcul est mené au taux du tarif en colonne B. C’est la provision au tarif, en tenant compte du taux garanti de $\num{4.5} \%$.
Avec un taux garanti à $\num{4.5} \%$, le calcul est mené à un taux de référence en colonne C. C’est la provision qu’exige le taux de référence, en tenant compte du taux garanti de $\num{4.5} \%$.
Pendant le différé :
-~La garantie principale ne joue pas ;
-~La garantie principale fait l’objet chaque année d’une revalorisation à un taux garanti ;
-~Au titre d’une garantie secondaire, une autre prestation est versée continûment. Son taux de service annuel est fixe. Le service de cette prestation réduit continûment la garantie principale, le taux annuel de cette réduction étant le même que le taux de service.
À tout moment du différé, le montant servi au titre de la garantie secondaire est égal au montant à ce moment de la garantie principale, arrêté au tarif.
Au début du différé, fixé à 10 ans, la garantie principale est arrêtée à $\num{100}$ au tarif. Pendant le différé, le taux de revalorisation garanti est de $\num{2.0} \%$ , le taux de service est pris à $\num{1.0} \%$ et on retient un taux d’escompte de $\num{2.0} \%$.
| Taux garanti | Taux du tarif | $\num{4.5}$ % | $\num{4.5}$ % |
| Taux d’escompte | Taux du tarif | Taux du tarif | $\num{2.5}$ % |
| Taux du tarif | A | B | C |
| $\num{2.0}$ % | $\num{100.00}$ % | $\num{195.55}$ % | $\num{164.20}$ % |
| $\num{2.5}$ % | $\num{100.00}$ % | $\num{155.06}$ % | $\num{155.06}$ % |
| $\num{3.5}$ % | $\num{100.00}$ % | $\num{117.53}$ % | $\num{142.74}$ % |
| $\num{4.5}$ % | $\num{100.00}$ % | $\num{100.00}$ % | $\num{134.82}$ % |
Valoriser en rapportant le taux garanti, $g$, au taux du tarif, $i$, conduit à multiplier, année après année, le niveau de la prestation par $(1+g)/(1+i)$. De même, le taux de maintien annuel, $m$, affecte le volume des prestations chaque année.
Ainsi, pour un niveau de prestations atteint de $P$, le niveau attendu des prestations $n$ années plus tard, $P_n$, sera $P(m(1+g)/(1+i))^n$. Escompter ces niveaux de prestations au taux $j$ revient alors à escompter le niveau de prestations initial au taux $(1+j)(1+i)/m(1+g)-1$.
Comme la valeur escomptée d’une rente perpétuelle à terme échu d’arrérages unitaires est l’inverse du taux d’escompte, la valeur ramenée des prestations à venir est $P(1+1/\num{1,00}(1+j)(1+i)/m(1+g)-1))$, avec les notations qui précèdent.
Différé
Pendant le différé, $t$ années
Comme le service de la garantie secondaire réduit continûment la garantie principale à hauteur de $\num{1,00} \%$ annuel, on ne peut escompter pour la garantie principale au taux du tarif qu’un montant $100 \cdot (\num{0,990} \cdot \num{1,020})^t$ à la date $t$.
Par ailleurs, un taux de service annuel de $\num{1,00} \%$ signifie un taux de service instantané $\mu$ égal à $-\ln(\num{0,990})$ qui fournit à la date $t$ un taux cumulé de maintien $\exp(-\mu t)$, qui vaut $\num{0,990}^t$.
L’escompte à $\num{2,00} \%$ de la garantie secondaire sur tout le différé d’une durée de 10 ans donne alors :
$\displaystyle \int_{0}^{10} \mu \cdot 100 \cdot (\num{0,970} \cdot \num{1,020})^t \cdot (1,02)^{-t} \mathrm{d}t$
Soit, en simplifiant : $100 \cdot \int_{0}^{10} \mu \exp(-\mu t) \mathrm{d}t$, avec $\mu$ défini comme précédemment et donc la valeur ramenée de la garantie secondaire est $100 \cdot (1-\exp(-10 \mu)) = 100 \cdot (1-\num{0,990}^{10})$.
Revenons à la garantie principale. Celle-ci est différée de 10 ans pendant lesquels jouent la revalorisation annuelle de $\num{2,0} \%$ et la réduction annuelle de $\num{1,0} \%$. Au terme du différé, la garantie principale s’établit donc à $100 \cdot $\num{0,990}^{10}\cdot \num{1,02}^{10}$, ce qui ramené à $\num{2,0} \%$ donne aujourd’hui $100 \cdot \num{0,990}^{10}$.
Reste à provisionner la garantie principale ainsi arrêtée au terme du différé.
Lorsque celle-ci est provisionnée au pair, ce qui est le cas quand le taux de revalorisation garanti pendant le service de la garantie principale est le taux du tarif de cette garantie, l’ensemble des garanties vaut le pair.