Le produit RendementPlus promet un coupon de $\num{5} \text{€}$ chaque début année de 2016 à 2020. Début 2020, la valeur de RendementPlus, après versement du coupon, sera de $\num{120} \text{€}$ si “ l’EBITA ajusté par la formule de Moivre de la société Vers Les Sommets est supérieur à $\num{85.72} \%$ de sa dette senior pondérée” et de $\num{60} \text{€}$ sinon. Dans la suite du sujet, le premier cas sera dénommé Scénario Favorable, le second, Scénario Défavorable.
Le Livret A, par la suite Livret, rémunère les sommes qui lui sont portées sur la base d’un taux annuel, fixé deux fois par an. Les sommes portent intérêts par quinzaine civile, proportionnellement au taux annuel. Les intérêts de l’année sont crédités en début d’année suivante et ne portent intérêts qu’à partir de ce moment.
1) La formule qui commande la valeur de RendementPlus début 2020 vous est-elle compréhensible ? L’est-elle pour le grand public ?
RendementPlussera proposé à la vente au prix de $\num{100} \text{€}$ fin 2014. Vous souhaitez acheter 100 coupures.
a) Établir les encaissements et décaissements prévus si Scénario Favorable se réalise ; si Scénario Défavorable se réalise.
b) Quel est le taux de rendement effectif annuel de RendementPlus si Scénario Favorable se réalise ? Si Scénario Défavorable se réalise ?
c) $\num{10000} \text{€}$ sont placés sur Livretfin 2014. Chaque début d’année à partir de 2016, vous prélevez $\num{500} \text{€}$ sur Livret. En supposant que le taux de Livret reste à $\num{1} \%$ jusqu’à fin 2020, de quelle somme disposez-vous sur Livret début 2020 ? Quel est le taux de rendement effectif annuel de cette opération ?
3) Pour acheter les 100 coupures RendementPlus, vous ne disposez que de $\num{4050} \text{€}$. Il vous est alors proposé un prêt de $\num{6000} \text{€}$, remboursable par mensualités à terme échu sur 5 ans, au taux annuel effectif global de $\num{4} \%$ et qui supporte $\num{50} \text{€}$ de frais de dossier (par la suite Prêt).
a) Quel est le montant de la mensualité ?
b) Quel serait le taux effectif global de Prêt si les mensualités étaient de $\num{110} \text{€}$ ?
4) Vous voulez acheter 100 coupures RendementPlus en faisant appel à PRÊT, les mensualités étant arrêtées à $\num{110} \text{€}$ (Montage).
a) Présenter les encaissements et décaissements associés à Montage selon que ce soit Scénario Favorable ou Scénario Défavorable qui se réalise.
b) $\num{4050} \text{€}$ sont placés sur Livret fin 2014. A partir de janvier 2015, chaque fin de mois $\num{110} \text{€}$ sont versés. A partir de début 2016, $\num{500} \text{€}$ sont prélevés chaque début d’année. En supposant que le taux de Livret reste à $\num{1} \%$ jusqu’à fin 2020, de quelle somme disposez-vous sur Livret début 2020 ? Comme intermédiaire, il pourra être calculé la somme disponible sur Livret au début de l’année suivant 12 versements de $\num{110} \text{€}$ chaque fin de mois.
5) Dans cette question, il est supposé que Scénario Favorable est certain.
a) Dans un premier temps, les encaissements et décaissements prévus sont ramenés fin 2014 en utilisant un taux d’escompte de $\num{10} \%$ :
- Quelle est la valeur escomptée des encaissements et décaissements associés à l’achat des 100 coupures RendementPlus ?
- Quelle est la valeur escomptée des encaissements et décaissements associés à Prêt, les mensualités étant arrêtées à $\num{110} \text{€}$ ?
- Quelle est la valeur escomptée des encaissements et décaissements associés à Montage ?
b) Le taux de rendement effectif annuel de Montage est-il inférieur, égal ou supérieur à $\num{10} \%$ ?
6) Dans cette question, il est supposé que Scénario Défavorable est certain.
a) Quel est le cumul des encaissements et décaissements prévus ?
b) Le taux de rendement effectif annuel de Montage est-il positif, nul, ou négatif ?
1) Cette formulation n’est guère compréhensible.
2)
b) En utilisant le moteur financier avec une valeur initiale de $\num{100}$, 5 versements de $\num{5}$ et une valeur finale à $\num{120}$ et $\num{60}$, nous trouvons un taux de rendement de $\num{8.38} \%$ dans le cas favorable et de -$\num{0.36} \%$ le cas défavorable.
c) En utilisant le moteur financier avec une valeur initiale de $\num{10000}$, 5 versements de $\num{500}$ et un taux de $\num{1} \%$, en nous plaçant en mode $BEGIN$, nous obtenons comme valeur finale $\num{7959.60} \text{€}$.
3)
a) En utilisant le moteur financier avec une valeur initiale de $\num{5950}$, 5 versements, le taux effectif de $\num{3.93} \ldots \%$ correspondant au taux nominal de $\num{4.00} \%$ sur une base mensuelle, nous obtenons une mensualité de $\num{109.39} \text{€}$.
b) En utilisant le moteur financier avec une valeur initiale de $\num{5950}$, 5 versements de $\num{110}$, nous obtenons un taux nominal de $\num{4.16} \ldots \%$ correspondant au taux effectif de $\num{4.24} \%$.
4)
b) Remarquons que le versement de $\num{110} \text{€}$ fin janvier produit dans l’année des intérêts sur 11 mois, soit $\num{110} \cdot 11/12 \cdot \num{1} \%$, celui de fin février sur 10 mois, $\num{110} \cdot 11/12 \cdot \num{1} \%$, $\ldots$ Il s’agit de sommer la suite arithmétique 11, 10, $\ldots$, qui donne 66. Les intérêts sur l’année pour les versements de l’année sont donc $\num{110} \cdot 66/12 \cdot \num{1} \%$, soit $\num{6.05} \text{€}$. 12 versements de $\num{110} \text{€}$ en fin de mois sur Livretà partir de janvier donne $\num{1326.05} \text{€}$ en fin d’année une fois les intérêts crédités.
Prendre une valeur initiale de $\num{4050}$ et 5 versements $\num{826.05}$ donne une valeur finale au taux de $\num{1} \%$ de $\num{8470.28}$.
5)
a) Avec la calculatrice, en utilisant le taux nominal de $\num{9.57} \ldots \%$ correspondant à $\num{10} \%$ effectif en base mensuel, nous obtenons $\num{5229.24} \text{€}$.
b) $\num{6.21} \text{€}$. Avec la fonction cible du tableur, le taux de rendement est $\num{10.25} \%$.
6)
a) -$\num{2150} \text{€}$.
b) Avec la fonction cible du tableur, le taux de rendement est -$\num{7.81} \%$.