Soit $\alpha > 0$, on définit la fonction $f_\alpha$ sur l’intervalle $]-1, +\infty[$ ainsi :
Le lecteur vérifiera la continuité de $f_\alpha$ en 0 et l’existence d’une limite à $\frac{f_\alpha(x)-f_\alpha(0)}{x}$ lorsque $x$ tend vers 0 qui rend $f_\alpha$ dérivable en 0.
Au vu de ce résultat, le lecteur persévérant pourra induire qu’elle pourrait prendre sa dérivée d’ordre $n$ en 0 et par récurrence valider sa conjecture ou, plus simplement, développera $(1 + x)^{-\alpha}$ sous forme d’une série entière admettant 1 comme rayon de convergence.
En $x$ différent de 0, $f_\alpha$ est $C^{\infty}$. En particulier, la dérivée est égale à : $$\frac{\alpha x(1 + x)^{-\alpha-1}-1}{x^{2}}$$
Étudions le numérateur pour connaître son signe. Sa dérivée est égale à : $$\alpha (1+x)^{-\alpha-2} (1+x-(\alpha+1)x)$$ elle est du même signe que $1-\alpha x$.
$f_\alpha^{(1)}$ est donc maximale pour $x=1/\alpha$ où elle vaut $\alpha^2((1 + 1/\alpha)^{-\alpha-1}-1)$ qui est strictement négatif ; $f_\alpha^{(1)}$ est donc strictement négative et $f_\alpha$ strictement décroissante.
Ce résultat est un cas particulier du principe général qui veut que lorsque les débours viennent après les concours, l’équation de l’annexe au décret n° 2002-927 admet une et une seule solution :
\[ \sum_{K=1}^m \frac{A_{K}}{(1+i)^{t_{K}}} = \sum_{K’=1}^{m’} \frac{A_{K’}}{(1+i)^{t_{K’}}} \]On réarrange les $K$ et les $K’$ de sorte que les suites $t_{K}$ et les $t_{K’}$ soient croissantes. Dans le cas évoqué, tous les $A_{K}$ et les $A_{K’}$ sont strictement positifs et $\forall K, K’$, on a $t_{K} < t_{K'}$.
Par translation de l’échelle temporelle, on place l’origine du temps strictement entre $t_{K_m}$ et $t_{K’_1}$. Le membre de gauche est alors strictement croissant sur l’intervalle $]-1, +\infty[$ et celui de droite strictement décroissant.
Lorsque $x$ tend vers $-1^+$, le membre de droite tend vers 0 et celui de gauche vers $+\infty$ ; et lorsque $x$ tend vers $+\infty$, le membre de droite tend vers $+\infty$ et celui de gauche vers 0. L’équation admet donc une et une seule solution.
L’annexe au décret n° 2002-927 présentait différemment l’équation de base : \[ \sum_{K=1}^m \frac{A_{K}}{(1+i)^{t_{K}}} = \sum_{K’=1}^{m’} \frac{A_{K’}}{(1+i)^{t_{K’}}} \]
- $K$ est le numéro d’ordre d’un prêt ;
- $K’$ est le numéro d’ordre d’un remboursement ou d’un paiement de charge ;
- $A_{K}$ est le montant du prêt n° $K$ ;
- $A_{K’}$ est le montant du remboursement ou du paiement de charge n° $K’$ ;
- $\sum$ est le signe indiquant une somme ;
- $m$ est le numéro d’ordre du dernier prêt ;
- $m’$ est le numéro d’ordre du dernier remboursement ou du dernier paiement de charge ;
- $t_{K}$ est l’intervalle, exprimé en années et fractions d’années, entre la date du prêt n° 1 et celle du prêt n° $K$ ;
- $t_{K’}$ est l’intervalle, exprimé en années et fractions d’années, entre la date du prêt n° 1 et celle du remboursement ou paiement de charge n° $K’$ ;
- $i$ est le taux effectif global.